komplement von potenzmenge P(A) in P(X) angeben

Question

ich habe diese Frage schon mal gestellt. mathef hat mir auch einen Ansatz mitgegeben, er konnte die Aufgabe aber auch nicht lösen.

Hier nochmal die Frage:

Gegeben sei eine Menge A⊆X. Geben Sie das Komplement der Potenzmenge P(A) in P(X) an, also P(X)\P(A). (Zeigen Sie, dass die von Ihnen bestimmte Menge tatsächlich das Komplement von P(A) ist.

Unser Dozent hat uns jetzt nochmal einen Hinweis gegeben, weil keiner von den Studenten die Aufgabe lösen kann. Folgendes hat er geschrieben

hier ist zunaechst eine allgemeine Formel für das Komplement der Menge P(A) anzugeben. Vergleichen Sie hierzu die Definition des Komplements für beliebige Mengen und betrachten Sie dann im Speziellen die Menge P(A) .  Das resultierende Ergebnis muss anschliessend begruendet werden, d.h. ist dies tatsaechlich das Komplenet von P(A) ?

Und

NACHTRAG:

Die Formel für das Komplement von P(A) soll nicht von der Gestalt {M:M∈P(X),M∉P(A)} sein. Es ist hier eine Menge anzugeben, aus der leicht/sofort(!) zu erkennen ist,  ob ein Element (in diesem Fall eine Teilmenge von X) zum Komplement von P(A) gehoert oder nicht. Verzichten sie bei der Beschreiben des Kompliments auf die Verwendung der Mengen P(X),P(A) .

Ich stelle die Frage jetzt nochmal, weil vielleicht jemand mit diesen zusätzlichen Informationen die Aufgabe lösen kann.

Das ist unsere erste Übung aus Höherer Mathematik 1. Von daher kann die Aufgabe ja nicht allzu kompliziert sein, aber trotzdem finde ich da keinen passenden Ansatz.

Ich wäre echt froh wenn mir da jemand helfen kann.

Comments

Hast Du Dir mal die Muehe gemacht, einige einfache Beispiele wie X={1,2,3} und A={1,2} explizit durchzuspielen?

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Ja natürlich. aber ich muss das ja allgemein beweisen nicht mit zwei expliziten Mengen.

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Ach, was Du nicht sagst. Du siehst die Pointe nicht mal in Beispielen, willst es aber gleich allgemein beweisen.

Answer 1

Aus den Definitionen der Begriffe folgt $${\mathcal P}(X)\setminus{\mathcal P}(A)=\{M\in{\mathcal P}(X)\mid M\not\in{\mathcal P}(A)\}=\{M\subset X\mid M\not\subset A\}.$$ Da beisst die Maus keinen Faden ab. Das einzige, was man noch machen kann, ist, die Bedingung \(M\not\subset A\) durch eine aequivalente, aber intuitivere Bedingung zu ersetzen. Zur Inspiration empfehle ich, das in einem der Kommentare genannte Beispiel durchzuspielen.

Answer 2

Neue Idee:

wie ich damals schon sagte, ist es sicherlich nicht P(X \ A) ; denn da fehlen ja noch alle

Teilmengen von X, die irgendwelche Elemente von A enthalten.  Vielleicht geht es so:P(X) \ P(A) =  { Z  |   ∃ (U;V) ∈ ( P(X\A) \ ∅ ) x  P(A)  ∧  Z = U ∪ V } .

Comments

P(X\A) \ ∅   !!!

als ob der Rest nicht schon verwirrend (und übrigens auch falsch) genug wäre

Answer 3

Bist du zufälligerweise im Mathematikkurs für Ingenieure bei Hr Knossalla? :DIch habe das selbe Problem, ich verstehe irgendwie nicht was der Ansatz sein soll. Bitte informier mich hier wenn du eine Lösung gefunden hast. :D

Comments

Hi,

Ja bin ich ;) . Ist echt eine blöde Aufgabe.

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Bist du auch in der Übungsgruppe 8? ;)

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Wenn die Deutschen damit schon Probleme haben, was sollen wir, Ausländer, damit machen?
Für mich ist es hoffnungslos... Nach 3 Tagen habe ich immer keine Ahnung wie soll ich das lösen :(