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Die Aufgabe besteht darin den Real und Imaginärteil von z zubestimmen und zubestimmen wann |z| < 1 gilt

$$ z\quad =\quad (1-i{ ) }^{ 1+i }\quad =\quad { e }^{ (1+i)(ln(1-i)) } $$

$$ ln(1-i)\quad =\quad ln(\sqrt { 2 } { e }^{ \frac { -\pi  }{ 4 }  }) $$

$$ ln(\sqrt { 2 } { e }^{ \frac { -\pi  }{ 4 }  })\quad =\quad ln(\sqrt { 2 } )\quad +\quad i(\frac { -\pi  }{ 4 } \quad +\quad 2k\pi ) $$

$$ (1+i)[ln(\sqrt { 2 } )\quad +\quad i(\frac { -\pi  }{ 4 } \quad +\quad 2k\pi )]\quad =\quad ln\sqrt { 2 } +\frac { \pi  }{ 4 } -2k\pi \quad +\quad i(-\frac { \pi  }{ 4 } +2k\pi +ln\sqrt { 2 } ) $$

$$ z = { e }^{ ln\sqrt { 2 } +\frac { \pi  }{ 4 } -2k\pi \quad +\quad i(-\frac { \pi  }{ 4 } +2k\pi +ln\sqrt { 2 } )   }$$


$$ { e }^{ ln\sqrt { 2 } +\frac { \pi  }{ 4 } -2k\pi \quad +\quad i(-\frac { \pi  }{ 4 } +2k\pi +ln\sqrt { 2 } ) }=\quad { e }^{ ln\sqrt { 2 } +\frac { \pi  }{ 4 } -2k\pi \quad  }{ e }^{ i(-\frac { \pi  }{ 4 } +2k\pi +ln\sqrt { 2 } ) } $$

$$ { e }^{ ln\sqrt { 2 }  }\quad { e }^{ -i\frac { \pi  }{ 4 }  }\quad =\sqrt { 2 } \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } (1-i)\quad =\quad (1-i) $$ 


$$ \quad { e }^{ ln\sqrt { 2 } +\frac { \pi  }{ 4 } -2k\pi \quad  }{ e }^{ i(-\frac { \pi  }{ 4 } +2k\pi +ln\sqrt { 2 } ) }=\quad (1-i){ e }^{ \frac { \pi  }{ 4 } -2k\pi +i(2k\pi +ln\sqrt { 2 } ) } $$

Wird der Real/Img.teil bei k = 0 angegeben? dann sollte doch davon das Ergebnis

$$ Realteil =  \sqrt { 2 } -\quad \frac { \pi  }{ 4 }  $$

$$ Imaginärteil = \sqrt { 2 } -\quad \frac { \pi }{ 4 } $$

"wann gilt |z| < 1" Muss ich dann berechnen bei welchen Zweig(k) der Realteil < 1 ist?

MFG

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