Trigonometrische Ausdrücke vereinfachen. sin(90° - x)/(1+tan^2(x))^{-1/2} * cos^2(x) / (1/2 * cot(x))

Question

Hallo noch einmal ein Ausdruck das ich vereinfachen soll.. ich weiß nicht ob ich das so machen darf

$$\frac { sin(90°-x) }{ { (1+{ tan }^{ 2 }\cdot x) }^{ -1/2 } } \cdot \frac { { cos }^{ 2 }x }{ \frac { 1 }{ 2 } cotx } $$

Mein Lösungsansatz:

Answer 1

sin(90° - x)/(1+tan^2(x))^{-1/2} * cos^2(x) / (1/2 * cot(x)) 

= cos( x)/(1+tan^2(x))^{-1/2} * cos^2(x) / (1/2 * cot(x))     | Bruch in Formel hast du nicht richtig umgesetzt.

= cos( x)/(cos^{-2}(x))^{-1/2} * cos^2(x) / (1/2 * cot(x))        

= cos( x)/(cos (x))^  (-1/2 * (-2)) * cos^2(x) / (1/2 * cot(x)) 

= cos( x)/ cos^ (x))^{1}  * cos^2(x) / (1/2 * cos(x)/sin(x))     | (cos^ (x))^{1} ist eigentlich |cos(x)| 

= cos( x) / |cos^ (x) |   * (cos(x) * sin(x) * 2 )

= ± 1  * sin(2x) 

+ 1 falls - π/2 <x < π /2

- 1 falls  π/2 < x < 3π / 2 

sin(90° - x)/(1+tan^2(x))^{-1/2} * cos^2(x) / (1/2 * cot(x)) 

= ± 1  * sin(2x) 

= {  sin(2x) falls - π/2 <x < π /2

   {  sin(2x) falls  π/2 < x < 3π / 2 

Bitte nochmals nachrechnen und Spezialfälle von x noch ausschliessen (Keine Divisionen durch 0) 

Comments

Bin total verwirrt. Warum das so gemacht wird.

---

was hat  cos( x)/ cos^ (x))¹  zu bedeuten? warum nicht  cos( x)/ cos (x)? 

---

Im Prinzip wird in diesem Schritt das Quadrieren durch die Wurzel wieder rückgängig gemacht. Merkt man auch, wenn man die Potenzregeln anwendet und (-1/2 * (-2))= 1 ausrechnet.

Nun ist aber das Quadrat einer neg. Zahl pos. und die Wurzel aus einer pos. Zahl wieder pos. D.h. überall, wo cos(x) < 0 ist, kommt die betragsmässig gleiche Zahl aber positiv raus. Daher dann besser den Betrag setzen.

= cos( x)/(cos (x))^  (-1/2 * (-2)) * cos²(x) / (1/2 * cot(x))  

= cos( x)/ (cos (x))¹  * cos^2 (x) / (1/2 * cos(x)/sin(x))     | (cos^ (x))¹ ist eigentlich |cos(x)|