Question

Sei X ein Menge und A,B,C ⊂ X Teilmengen. Beweisen Sie:

A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C)

Hinweis: Man benutze das Distributivesetz.

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Könnte mir jemand vielleicht dabei helfen? Aber bitte nicht einfach nur ein Lösungsweg hinschreiben, ich möchte es gerne verstehen und würde mich über eine Erklärung sehr freuen.

Answer 1

A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C)Vermutlich habt ihr das Distributivgesetz etwa in der Form

X ∪ ( Y ∩ Z ) =  ( X ∪  Y )   ∩ (  X ∪ Z )  gehabt.

Nimm jetzt mal die rechte Seite der zu beweisenden Gleichung

und denke dir    X =  A \ B     und  Y = A  und  Z = CDann entspricht das genau X ∪ ( Y ∩ Z )und wegen des Distributivges. ist also dann 

(A \ B) ∪ (A ∩ C)

=   (( A \ B)  ∪ A  ) ∩  ( (A \ B) ∪   C)    #Das rote ist eine Vereinigung einer Teilmenge

nämlich A\B mit seiner Obermenge A, also ist

das einfach nur A und du hast

#   = A ∩  ( (A \ B) ∪   C) und für ein Element x hieraus gilt alsox∈A   und  (  x∈ A\B  oder  x∈C )in der Klammer kann man dann aberetwas umschreiben zu 

x∈A   und  (  x∉B  oder  x∈C )  denn weil ja x∈A ist   x∈ A\B gleichbedeutend mit x∉B .

Wenn du die linke Seite der zu beweisenden Gleichung

betrachtest   A \ (B \ C)  und x daraus ein El ist, dann heißt das

x∈A   und  (  x∉ B \ C ) und das heißt halt

x∈A   und  (  x∉B  oder  x∈C )also ist das grüne eine Beschreibung für die El. der

rechten Menge und das blaue eine für die linke.

Da die übereinstimmen, sind die Mengen gleich.

Comments

Warum nicht einfach  
A \ (B \ C)  =  A ∩ (B \ C)^c  =  A ∩ ( B ∩ C^c )^c  =  A ∩ (B^c ∪ C) 
=  (A ∩ B^c) ∪ (A ∩ C)  =  (A \ B) ∪ (A ∩ C)

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Schöne Idee !