Test einer Hypothese. Sensoren 1. Wahl (5% defekt). Sensoren 2. Wahl (10% defekt)

Question

Ich bin am verzweifeln. Ich schaffe es einfach nicht diese Aufgabe zu Lösen. Vielen Dank fürs helfen.

Die Schule X. Rau bezieht von ihrem Lieferanten Sensoren in größerer Stückzahl. Bekanntermaßen produziert der Lieferant Sensoren 1. Wahl, wobei 5% defekt sind, und Sensoren 2. Wahl mit einem Anteil von 10% defekten. In einer Lieferung befinden sich jeweils nur Sensoren einer Güte. Die Schule X. Rau prüft mit einer Zufalsstichprobe, ob der Lieferant - wie versprochen - Sensoren 1.Wahl geliefert hat. Wenn unter 40 zufällig gewählten Sensoren zwei oder mehr defekte sind, reklamiert die Schule X. Rau die Lieferung.
a) Formulieren Sie den statistischen Test, also die Hypothese und Alternative, die Zufallsvariable (Testgröße) mit Verteilung und Definitionsbereich (möglich Werte) sowie die Entscheidungsregel.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art und interpretieren Sie das Ergebnis
c) Berechnen Sie den Fehler 2. Art d) Welches Risiko beschreibt der Fehler c)

Answer 1

a) Formulieren Sie den statistischen Test, also die Hypothese und Alternative, die Zufallsvariable (Testgröße) mit Verteilung und Definitionsbereich (möglich Werte) sowie die Entscheidungsregel.

Vorschlag: Getestet wird die Hypothese H_1: p=0,05 gegen die Alternative H_2: p=0,1. Die Testgröße T := "Anzahl defekter Sensoren in der Stichprobe" kann näherungsweise als binomialverteilt mit Werten aus {0, 1, 2, ..., 40 } angesehen werden. H_1 wird verworfen und H_2 damit als erhärtet angesehen, falls T > 1 ist.

Anmerkung: Die Entscheidungsregel ist durch die Aufgabe vorgegeben. Sie verwirft H_1 bereits dann, wenn der Erwartungswert E(X)=40*0,05=2 eintritt.

Comments

Das sieht soweit gut aus. Warum nimmst du nicht H_0 und H_1 wie allgemein üblich?

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Bei Alternativtests ist durchaus auch die Bezeichnung H_1 und H_2 üblich.

Answer 2

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art und interpretieren Sie das Ergebnis.

Der Fehler erster Art besteht darin das H_0 (0.05) zutrifft wir uns aber für H_1 (0.1) entscheiden.

1 - ∑ (k = 0 bis 1) ((40 über k)·0.05^k·(1 - 0.05)^{40 - k}) = 60.09%

Das bedeutet das wir die Sendung zu 60% unbegründet zurückschicken. Das ist natürlich viel zu viel Daher sollte die Entscheidungsregel modifiziert werden. Z.B. das wir nur bei mehr als 4 defekten die Sendung ablehnen. Dann lege der Fehler erster Art bei nur 4.8%.

c) Berechnen Sie den Fehler 2. Art d) Welches Risiko beschreibt der Fehler

Der Fehler 2. Art beschreibt das Risiko das wir und für H_0 entscheiden obwohl H_1 richtig ist. 

∑ (k = 0 bis 1) ((40 über k)·0.1^k·(1 - 0.1)^{40 - k}) = 8.0%

Die Nullhypothese und die Alternativhypothese könnten auch genau anders herum definiert werden. Das hängt davon ab aus welcher sicht man es sieht. Man ist ja möglichst immer bestrebt den Fehler 1. Art zu minimieren. Wie ich es oben definiert habe ist man bestrebt, den Händler nicht zu unrecht zu beschuldigen Ware minderer Qualität geliefert zu haben.

Für uns ist es aber eher ungünstig, wenn wir denken die Ware ist 1. Wahl und wir verbauen alles Bauteile 2. Wahl. Aus der Sicht sollte man dann die Nullhypothese und die Alternativhypothese vertauschen.