Für das Doppelintegral gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder du schreibst das Integral abhängig von \(x\) und schreibst die Grenzen von \(y\) als Funktionen von \(x\), oder umgekehrt. In diesem Fall ist es viel leichter, die Grenzen in Abhängigkeit von \(y\) zu schreiben (denke dir dazu das ganze Diagramm gespiegelt an der ersten Winkelhalbierenden, der Geraden \(y=x\)). Dann ist:
$$A=\int_0^1\int_{-y-1}^{y+1}1\text dx\text dy=\int_0^1y+1-(-y-1)\text dy=\int_0^12y+2\text dy=1^2+2-0=3.$$
Wir integrieren quasi "von unten nach oben" statt "von links nach rechts" wie üblich.
Da die Rotation um die \(x\)-Achse bereits beantwortet wurde, beantworte ich jetzt mal die Rotation um die \(y\)-Achse, falls das die Frage war.
In diesem Fall haben wir als Volumen das Volumen eines Kegelschnittes, also großer Kegel - kleiner Kegel:
$$V=r_1^2\cdot h_1\cdot\frac\pi3-r_2^2\cdot h_2\cdot\frac\pi3=(r_1^2\cdot h_1-r_2^2\cdot h_2)\cdot\frac\pi3=(2^2\cdot2-1^2\cdot1)\frac\pi3=\frac{7}{3}\pi$$
Ähnlich wie bei der Fläche und mithilfe der Kreisgleichung \(x^2+z^2=r^2=(y+1)^2\) \(\Leftrightarrow z=\pm\sqrt{(y+1)^2-x^2}\) erhalten wir:
$$V=\int_0^1\int_{-y-1}^{y+1}\int_{-\sqrt{(y+1)^2-x^2}}^{\sqrt{(y+1)^2-x^2}}1\text dz\text dx\text dy=\int_0^1\int_{-y-1}^{y+1}2\sqrt{(y+1)^2-x^2}\text dx\text dy=\left[x=(y+1)\sin(\phi),\text dx=(y+1)\cos(\phi)\text d\phi\right]={\int_0^1\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2(y+1){\cos(\phi)}\sqrt{(y+1)^2-(y+1)^2\sin(\phi)^2} \text d\phi\text dy}={\int_0^1\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2(y+1)^2\sqrt{1-\sin(\phi)^2}{\cos(\phi)} \text d\phi\text dy}=[\sin(x)^2+\cos(x)^2=1]={\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2|\cos(\phi)|{\cos(\phi)}\int_0^1(y+1)^2 \text dy\text d\phi}={\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2|\cos(\phi)|{\cos(\phi)}\frac{(1+1)^3-(0+1)^3}3\text d\phi}={\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2|\cos(\phi)|{\cos(\phi)}\frac73\text d\phi}=\left[\forall \phi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\colon\cos(\phi)\geq0\right]=\frac73{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\cos(\phi)^2\text d\phi}=[2\cos(\phi)^2=\cos(2\phi)+1]=\frac73{\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(2\phi)+1\text d\phi}=\frac73\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(2\phi)\text d\phi+\frac 73\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\text d\phi=\frac73\left(\frac{\sin(\pi)-\sin(-\pi)}2\right)+\frac73\left(\frac\pi2-\left(-\frac\pi2\right)\right)=0+\frac73\pi=\frac73\pi.$$
