Konvergenz zeigen und Grenzwert berrchnen

Question

Ich komme mit einer Aufgabe nicht weiter:

Sei K ∈ (0,1). DefiNiere die Folge (a_n) durch vollständige Induktion durch:

a₀ := K,     a_n+1:= 1-√1-a_n. 

Zeige, das an konvergiert und berechne dann den Grenzwert.

Als Hinweis haben wir:

Zeige, dass der Grenzwert a die Gleichung (a-1)² = 1-a erfüllt und berechne damit a.

Ich muss sagen, dass diese Hinweis mich komplett verwirrt hat und ich weiß nicht was ich mit dieder Aufgabe anfangen soll..

Und um ehrlich zu sein habe ich Konvergenz auch nur halb verstanden :(

Ich freue mich auf Antworten.

Answer 1

Konvergenz zeigen :

a_n+1 -   a_n   = 1-√(1-a_n ) -   a_n   = 1   -   a_n      -√(1-a_n )

und wegen   0 <  K < 1  ist  auch immer  0 < 1   -   a_n      < 1

und damit die Wurzel aus dem Term größer als der Term selbst, also

1   -   a_n      -√(1-a_n )    < 0   und damit die Folge mon. fallend. 

und offenbar durch 0 nach unten beschränkt, also konvergent.


Zeige, dass der Grenzwert a die Gleichung (a-1)² = 1-a erfüllt und berechne damit a.

wegen      a_n+1:= 1-√1-a_n.    

gehen im Falle der Konvergenz sowohl   a_n+1  als  auch   a_n   gegen den Grenzwert a

also hast du    a =  1  -  √ (1 - a )gibt    a - 1  =   -  √ (1 - a )   quadrieren


( a-1) ²   =   1 - a


a² - 2a  + 1 =   1 - a

a² - a   =  0   

a = 0 oder a=1  .

Da die Folge monoton fällt, also  a=0.