Lösungsmenge von Ungleichungen mit Beträgen bestimmen

Question

Bestimmen Sie die Lösungsmenge von (|x-3|)/(1+x) > x   Für x∈ℝ

Ich weiß, dass laut Definition |x-3|= x-3 für x-3 ≥0 und |x-3| = -(x-3) für x-3 < 0 gilt

Also gilt auch  |x-3| = x -3  für x ≥ 3 und |x-3| = -(x-3) für x < 3 . Dann mache ich eine Fallunterscheidung und setze die beiden ein. Mein Problem ist, dass ich es nicht schaffe, die Ungleichung zu lösen.

Answer 1

(|x-3|)/(1+x) > x

1. Fall  ( x ≥ 3 )  und  ( x  >  -1  )  dann ist es

(x-3)/(1+x) > x

⇔ x-3  >   x * ( 1+x)       größer-Zeichen bleibt wegen   ( x  >  -1  )

⇔ x-3  >   x +x²  

⇔ 0  >  x²   + 3      stimmt nie, also keine Lösung bei Fall1



2. Fall  ( x ≥ 3 )  und  ( x  <  -1  )  sowas gibt es nicht

3. Fall     ( x < 3 )  und  ( x  >  -1  ) 

(-x+3)/(1+x) > x

⇔ -x+3  >   x * ( 1+x)       größer-Zeichen bleibt wegen   ( x  >  -1  )

⇔ -x+3  >   x +x²  

⇔ 0  >  x²   +2x  - 3  

⇔ 0  >  (x  + 3) ( x  - 1 )    


⇔  (x  + 3) > 0   und   ( x  - 1 ) <0   oder  

         (x  + 3) < 0   und   ( x  - 1 )  > 0  

⇔  x  > -3   und    x  < 1    oder  

         (x  <  - 3)   und   ( x  > 1 ) 

unter Berücksichtigung der Fallannahme  x aus ] -1 ; 1 [

4. Fall       ( x < 3 )  und  ( x  <  -1  )   also x < -1

(-x+3)/(1+x) > x

⇔ -x+3  <   x * ( 1+x)       größer-Zeichen wird zu <     ( x  <  -1  )

⇔ -x+3  <   x +x²  

⇔ 0  <  x²   +2x  - 3  

⇔ 0  <  (x  + 3) ( x  - 1 )    


⇔  (x  + 3) > 0   und   ( x  - 1 )  > 0   oder  

         (x  + 3) < 0   und   ( x  - 1 )  < 0  

⇔  x  > -3   und    x  > 1    oder  

         (x  <  - 3)   und   ( x  < 1 ) 

unter Berücksichtigung der Fallannahme 

(x  <  - 3)   und   ( x  < 1 )  und x < -1 also

x < -3

L = ] - ∞ ; -3 [  ∪    ] -1 ; 1 [   siehe Plott:

~plot~ abs(x-3) / (x+1); x ~plot~