Sei P(M) die Potenzmenge einer beliebigen Menge M und A∆B (Kommutativ?)

Question

Sei P(M) die Potenzmenge einer beliebigen Menge M und A∆B := (A \ B) ∪ (B \ A) für alle A,B ⊆ M (symmetrische Differenz von A und B). Zeigen Sie, dass (P(M),∆) eine kommutative Gruppe ist.

Answer 1

assoziativ musst du nur nachrechnen.

neutrales El ist ∅

A∆∅ = (A \∅ ) ∪ (∅ \ A)  = A  ∪ ∅  = A 

Und invers zu A ist  M\A  denn

A∆(M\A) = (A \ (M\A)) ∪ ((M\A) \ A) 

=  A ∪ ∅   = A

und kommutativ ist es ja offenbar.