Frage zur Schreibweise einer Definitionsmenge D= (-1, 1) X (-1, 1)

Question

Ich habe hier eine Definitionsmenge

D= (-1, 1) X (-1, 1) gegeben, dazu die Funktion f: R^2 -> R

f(x) = x1^2 + x2^2

Was bedeutet dieses Kreuz und ist die Menge abgeschlossen/beschränkt?

Answer 1

Du hast \(  f: \Bbb R^2 \to \Bbb R \)

Das bedeutet: Du hast eine Funktion mit dem Namen \( f \) (wie geistreich). Diese Funktion benötigt 2 Werte aus \( \Bbb R \) und liefert als Ergebnis 1 Wert aus \( \Bbb R \).

Deine Definitionsmenge ist ein Kreuzprodukt \( \dots \times \dots \) und gibt die beiden Mengen an, aus denen die beiden Werte für die Funktion stammen dürfen (erster Wert aus erster Menge, zweiter Wert aus zweiter Menge).

Grüße,

M.B.

Answer 2

das Kreuz stellt das kartesische Produkt dar.

gemeint ist hier Folgendes:

(-1,1)x(-1,1)={(x,y)| -1<x<1 und  -1<y<1)

Auf der linken Seite handelt es sich um offene Intervalle, rechts in der Mengenklammer handelt es sich um einen Zeilenvektor.

Answer 3

(-1, 1) X (-1, 1) bedeuted: Jedes Element des ersten Tupels soll mit jedem Element des 2. Tupels kombiniert ein Element des Definitionsbereiches sein, also D={(-1,-1); (-1,1); (1,-1); (1,1)}.

Comments

Hallo Roland,

im Hinblick darauf, dass es Idioten gibt, die für Intervalle \( (\dots ) \) anstatt \( [\dots] \) benutzen, wäre ich da ganz sicher nicht so sicher. Speziell werden offene Intervalle oft mit \( (\dots ) \) anstatt mit \( ]\dots[ \) bezeichnet. Außrdem hast Du eine Funktion in \( \Bbb R \) und nicht in \( \Bbb Z \).

Grüße,

M.B.

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Bei mir im Skript ist die Schreibweise (...) für offene Intervalle üblich, ich finde allerdings nirgends was zu der Schreibweise mit dem Kreuz. Dass die Funktion von ℝ² nach ℝ geht, schließt doch die Erklärung von Roland nicht aus, oder?

Sollte D={(-1,-1); (-1,1); (1,-1); (1,1)} sein, ist f dann stetig? f ist damit ja nur an bestimmten Punkten definiert?

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Hallo Johannes95,

doch, das ist ein großer Unterschied.

Im Sinne von \( (-1,1)  = \{ -1,1 \} \) (d.h. Roland) hast Du kein Intervall, sondern eine Menge mit 2 Elementen. Das bedeutet z.B., dass Du \( 0 \) oder \( {1\over2} \) nicht in die Funktion einsetzen darfst. Das bedeutet dann auch, dass die Funktion nur punktuell definiert ist, und damit auch nicht stetig ist, etc., etc.

Und die Schreibweise mit \( (\dots) \) ist einfach nur Scheiße, weil Du oft genug nicht unterscheiden kannst, ob \( (a,b) \) ein Intervall, oder eine Menge oder ein Punkt / Vektor sein soll.

Grüße,

M.B.

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(a,b) ist also kein Tupel, sondern ein Intervall. Wenn das die neue Semantik ist, ziehe ich meine Antwort wieder zurück.

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Oben steht etwas von der "Funktion f: R^2 -> R". Da erwarte ich eigentlich, dass ihr Definitionsbereich eben ganz R^2 ist und nicht irgendeine Teilmenge daraus.

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nein.

Die Schreibweise \( f: \Bbb R^2 \to \Bbb R \) gibt nur an, aus welchen Mengen die Elemente sind, die die Funktion bekommt, bzw. zurückgibt (errechnet).

Du darfst niemals voraussetzen, dass Du alle nehmen darfst, oder auch alle bekommst. Dafür musst Du dann ja auch oft genug erst einmal die Definitionsmenge bestimmen.

Grüße,

M.B.

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Ich schrieb das, weil ich es eben genau anders sehe.

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dann soltest Du Deine Meinung ändern.

Du hast oben sogar eine Definitionsmenge angegeben, weil Du eben nicht alle nehmen darfst.

Grüße,

M.B.

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Nun, ich wüsste nicht, warum ich meine Meinung ändern sollte, geht sie doch konform mit der heute üblichen und weit verbreiteten Auffassung, eine Funktion im Sinne der Mathematik mengentheoretisch als linksvollständige und rechtseindeutige Relation zwischen Mengen aufzufassen, so etwa in

Stover, Christopher and Weisstein, Eric W. "Function." From MathWorld -- A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Function.html

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das ist doch völliger Blödsinn, was Du redest. Wie sollte dann die Definition aussehen:

\( f : ?? \to ?? \)

wenn

\( f(x) = x^2 \),

\( f(x) = x^2-7x+4 \),

\( f(x) = x^2-5 \),

\( f(x) = \sqrt{x} \),

\( f(x) = \sqrt{x-5} \),

\( f(x) = \sqrt{x^2-7x+5} \),

und viele 100000000000000000000000 anderer Funktionen.

Das genau zu bestimmen ist Frage der Definitions-und Wertemenge und nicht der formalen Definition.

Grüße,

M.B.

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Na gut, wenn du die Quelle nicht liest oder nicht verstehst, dann nimm halt diese hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Mengentheoretische_Definition

einschließlich des nachfolgenden Abschnitts.

(Der dämliche Eingabefilter zerstört den Link, also muss geeignet nachgearbeitet werden!)