Logarithmengesetze: Als Summe schreiben: 1. log_a (pqr) 2. log_a (pq-pr) 3. log_a ((b+c)^4) 4. log_a (1/c²)

Question

Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmengesetze als Summe bzw. Differenz einzelner Logarithmen:

1. log_a(pqr)

2. log_a(pq-pr)

3. log_a( (b+c)⁴ )

4. log_a( 1 / c² )

Bitte mit Regeln und Rechenweg hinschreiben, danke sehr!

Comments

Rechenregeln sind zusammengestellt auf https://www.matheretter.de/wiki/logarithmus (unten).

Oben findest du dort noch ein kostenfreies Video mit einer Einführung zu Logarithmen.

Answer 1

Die Regeln sind:

1) log ( a * b ) = log ( a ) + log ( b )

2) log ( a / b ) = log ( a ) - log ( b )

3) log ( a ^ x ) = x * log ( a )

Die Regel 3 ergibt sich, indem man log ( a ^ x ) als log ( a * a * ... [ x-mal ] ... * a ) schreibt und darauf Regel 1) anwendet.

 

Diese Regeln gelten für jede Basis, die natürlich innerhalb ein- und derselben Gleichung gleich sein müssen. Deshalb lasse ich die Basis im Folgenden jeweils weg. Es ergibt sich:

log ( p q r ) = log ( p ) + log ( q ) + log ( r )

log  ( p q - p r ) = log  ( p * ( q - r ) ) = log ( p ) + log  ( q - r )

log  ( ( b + c ) ^ 4 ) = 4 * log  ( b + c )

log ( 1 / c ² ) = log ( 1 ) - log  ( c ² ) = 0 - 2 * log ( c ) = - 2 log ( c )

Comments

Und was machst du, wenn das x in Regel 3 keine natürliche Zahl ist?
Jedenfalls müsste man noch mit den Vorzeichen aufpassen; wenn z.B. a und b negativ ist, kann man den Logarithmus von ab oder von a/b bilden, aber nicht von a und b einzeln.
Genauso könnte (b+c) negativ sein; dann wäre der Logarithmus von (b+c)^4 wohldefiniert, aber nicht der von b+c.