Beweise formal, dass quadratische Gleichung nur eine Lösung wenn Diskriminante =0

Question

Zeigen Sie formal, dass eine quadratische Gleichung genau eine Lösung hat, wenn die Diskriminante gleich Null ist.

Mein Versuch mit der ABC-Formel:

x_1,2 = (-b +/- √(b²-4ac) ) / 2a

Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel, also (b² - 4ac). Wenn die Diskriminante = 0 sein soll, ist auch die Wurzel aus 0 = 0. Es bleibt

x_1,2 = -b / 2a

Folglich gibt es genau eine Lösung, wenn die Diskriminante = 0.

Habe ich das damit "formal gezeigt"?

Answer 1

Ich finde es gut.  Kann natürlich heißen, dass du die

Formel nicht nutzen darfst, dann musst du es mit quadr. Erg.

machen.

Answer 2

Hallo brixx,

man sollte das wohl etwas grundsätzlicher machen:

ax² + bx + c = 0    | : a      [ a≠0, sonst keine quadratische Gleichung ]

⇔   x² + b/a · x + c/a  = 0   | - c/a

Quadratische Ergänzung:  

⇔   x² + b/a * x  + [ b/(2a) ]²  =  - c/a  +  b²/(4a²)  =  (b² - 4ac) / (4a)

⇔  ( x + b/(2a) )²  =   (b² - 4ac) / (4a)

Jetzt muss man ggf. die Wurzel ziehen und die Gleichung  hat genau dann

 genau eine Lösung  x = - b/2a , wenn die Diskriminante  gleich 0 ist

Gruß Wolfgang

Comments

ok, da sind mit zu viele Schritte im Kopf dabei, sorry :-)

x² + b/a · x + c/a  = 0 

Quadratische Ergänzung:  

⇔   x² + b/a  + [ b/(2a) ]²  =  - c/a  +  b²/(4a²)  =  (b² - 4ac) / (4a) 

wo ist denn das x von b/a geblieben?

Bei mir stünde da: x² + b/a*x + (b/2a)² - (b/2a)² + c/a = 0

(x + (b/2a))² = (b/2a)² - c/a

Wo ist mein Fehler??

⇔  ( x + b/(2a) )²  =   (b² - 4ac) / (4a)

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wo ist denn das x von b/a geblieben?

Das wohl ein Tippfehler.

(b/2a)² - c/a

Wo ist mein Fehler??alles ok. Das gibt

b² / 4a²  - c/a

= b² / 4a²  - 4ac/4a²   


= ( b² - 4ac ) /4a²   

Und das ist der gleiche Term im Zähler wie bei deinem

ersten Ansatz mit der Formel.  Also bleibt dir 

 ( x + b/(2a) )²  = 0  also 

x + b/(2a)  = 0x = - b /(2a)   wie oben.

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@ brixx 

> wo ist denn das x von b/a geblieben?

Das war ein Tippfehler, habe ihn korrigiert.

Dein Ergebnis ist ja dann das gleiche und richtig.

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ja super, vielen lieben Dank.

Muss das ganze jetzt auch noch für D = kleiner bzw. größer als 0 machen. Soll ich dafür eine neue Frage stellen oder kann ich gleich hier weitermachen? Falls ihr noch Lust habt? :-)

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also würd gern meinen Ansatz zeigen :-)

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Dann mach mal :-)

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ok, wir haben ja jetzt bewiesen, dass

(x + b/2a)² = (b²-4ac) / (4a²)

Wenn jetzt die Diskriminante, also (b²-4ac) / (4a²)<0

(x + b/2a)² = - ( (b²-4ac) / (4a²) )

um jetzt weiter aufzulösen müsste ich ja die Wurzel ziehen und das darf man aus negativen Zahlen bei uns nicht.

Folglich hat die Gleichung keine Lösung??

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Für "keine Lösung" völlig richtig

Die Wurzel aus negativen Zahlen ist - nicht nur bei euch :-) - nicht definiert.

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:-) sehr gut, gib mir ein paar Minuten, dann kommt noch größer als 1 ;-)

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Wir wissen wieder 

(x + b/2a)² = (b²-4ac) / (4a²)   weiter auflösen mit Wurzelziehen

x+ b/2a = +/- √(b²- 4ac ) / 2a

x = -b/2a +/- √(b²- 4ac ) / 2a

x = (-b +/- √(b²- 4ac ) ) / 2a

Diskriminante ist jetzt (b²- 4ac )

Daraus die Wurzel ergibt ein positives und ein negatives Ergebnis. Wenn die beiden Ergebnisse zu -b addiert bzw. subtrahiert werden, erhalten wir zwei unterschiedliche Ergebnisse?

Also:

x = (-b + √(b²- 4ac ) ) / 2a

x = (-b - √(b²- 4ac ) ) / 2a

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wenn du noch irgendwo erwähnst, dass jetzt  b²-4ac) / (4a²)   > 0 gelten soll,

ist auch das völlig richtig.

Allerdings solltest du x₁  bzw. x₂  schreiben oder

x = (-b + √(b²- 4ac ) ) / 2a  oder  x = (-b - √(b²- 4ac ) ) / 2a  

> Diskriminante ist  jetzt  (b²- 4ac )

Das ist doch in jedem der drei Fälle die Diskriminante 

 

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ja da hast du natürlich recht, sorry.

Aber gut, dann hab ichs ja, vielen lieben Dank :-)

Answer 3

Nehme an: Diskriminante > 0. Dann gibt es immer zwei reelle Lösungen.

Nehme an: Diskriminante <0 . Dann gibt es keine rellen Lösungen.

Nur für D=0 ex. genau eine Lösung. Das formale Aufschreiben überlasse ich dir ;)

Comments

Das ist lieb, aber genau das ist ja meine Aufgabe.

Das dem so ist ....

Nehme an: Diskriminante > 0. Dann gibt es immer zwei reelle Lösungen.

Nehme an: Diskriminante <0 . Dann gibt es keine rellen Lösungen.

Nur für D=0 ex. genau eine Lösung.

steht schon in meiner Aufgabe ;-)