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Gegeben ist eine regemäßige dreiseitige Pyramide mit

Seitenkante  s=7,8

Höhe auf der Seite hs=7,1

Berechnen sie das Volumen der Pyramide

P.S Bitte helfen sie mir mit Vollständiger Erklärung!!

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pyramidedas ist die höhe  auf der seite hs

Wenn die Seitenkante die Strecke vom Boden zur Spitze bezeichnet, dann haben wir ein rechtwinkliges Dreieck mit
der Hypotenuse s = 7,8

und den Katheten hs = 7,1 sowie die Hälfte einer Grundseite.

Damit haben wir die Länge der Grundseite berechnet und erhalten die Fläche des gleichseitigen Dreiecks mit der Formel:
A = (a^2 * √3 ) / 4

Mit dem Satz des Pythagoras können wir den Schwerpunkt S der Grundfläche berechnen.
Wieder erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck mit
der Hypotenuse hs
und den Katheten Fußpunkt von hs bis S

und h.

Daraus können wir h berechnen und alles in die Formel für das Volumen einer Pyramide einsetzen:

V = 1/3 * G * h

(G ist dann das A von oben)

2 Antworten

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Was ist denn Höhe auf der Seite?

Sonst V=1/3*G*h

G=1/2 *g*h
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Vermutlich ist die Situation wie in folgender Skizze:

Allgemein berechnet sich das Volumen aus
V = 1/3 · Grundfläche · Pyramidenhöhe = 1/3·G·H.
Die Grundfläche  G  ist hier ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge  a  und berechnet sich aus
G = 1/2 · Grundseite · Dreieckshöhe = 1/2·a·h.
Die Grundseite  a  berechnet sich nach Pythagoras aus
s2 = hs2 + (a/2)2 ⇒ a = 2·√(s2 - hs2).
Die Dreieckshöhe  h  berechnet sich nach Pythagoras aus
a2 = (a/2)2 + h2 ⇒ h = 1/2·√3·a.
Damit ist  G = 1/2·a·h = 1/4·√3·a2 = √3·(s2 - hs2).
Die Pyramidenhöhe  H  berechnet sich nach Pythagoras aus  hs2 = H2 + (h/3)2.
Dazu muss man wissen, dass sich die Dreieckshöhen in einem gemeinsamen Punkt schneiden und, da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, deren Teilungsverhältnis  2 : 1  beträgt.
Es folgt  H2 = hs2 - 1/12·a2 = hs2 - 1/3·(s2 - hs2) ⇒ H = √(1/3·(4·hs2 - s2)).
Nun kann man  V  berechnen. V = 1/3 ·G·H = 1/3·(s2 - hs2)·√(4·hs2 - s2) ≈ 41,25.
 

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