Spitze S( 7/3/1) verschieben, ohne dass sich das Volumen der Pyramide ABCS verändert?

Question

Aufgabe:

… gegeben: A(4/3/-2) B(2/2/0) C(4/0/1), die in E: x1+2x2+2x3=6 liegen.

d) wie könnte man die Spitze S( 7/3/1) verschieben, ohne dass sich das Volumen der Pyramide ABCS verändert? Begründen Sie ihre Aussage.

Answer 1

Du kannst die Spitze parallel zur Grundfläche verschieben. Also entlang der Richtungsvektoren

AB = [2, 2, 0] - [4, 3, -2] = [-2, -1, 2]

AC = [4, 0, 1] - [4, 3, -2] = [0, -3, 3]

Answer 2

Diejenige Parallelebene zu ABC, in der auch S liegt,

hat die Gleichung

x₁+2x₂+2x₃=15.

Jeder Punkt dieser Parallelebene kann die neue Spitze sein.

Ergänzung: Auch jeder Punkt in x₁+2x₂+2x₃= -3 kann es sein

Comments

Wie kommt man auf die Parallelebenen ?

---

1. Habt ihr die Hessesche Normalform behandelt?

Der Normalenvektor ist bei allen Parallelebenen zu E gleich.

E: x1+2x2+2x3=6

Parallelebenen zu E lassen sich deshalb beschreiben als:

P: x1+2x2+2x3= K, K ist eine Konstante. 

2. Was weisst du über Volumen von Pyramiden?

---

Das Volumen einer Pyramide wird wie bei jedem Spitzkörper mit

V = G*h / 3

berechnet. Da jeder Punkt auf der Parallelebene den Abstand h zur Grundebene hat, bleibt auch das Volumen gleich, wenn die Spitze auf der Parallelebene verschoben wird.