Das Volumen einer Pyramide ABCS mit Vektoren berechnen (Nicht mit dem Sklalaprodukt oder Kreuzprodukt)

Question

Gegeben ist eine Pyramide ABCS.

A(5/0/0) B(3/4/1) C(1,5/-2/2,5) S(3/2/5)

Brechenen Sie das Volumen der Pyramide ABCS.  (Vekotren)

Bitte nicht mithilfe des Kreuzproduktes!

Bitte auführlich erklären und schritt für schritt zeigen damit man es nachvollziehen kann.

Comments

Skalarprodukt* Vektoren*

Entschuldigt die Rechtschreibfehler!

Bitte auch nicht mit dem Spanprodukt.

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Hier mal zum Vorstellen, wie die Pyramide in 3D aussieht.

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Bringt mir  nicht wirklich viel.

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Du hast aber sehr viele Einschränkungen für den Lösungsweg gemacht. Was soll denn das? Wer hat denn Lust, eine Pyramide zu berechnen, wenn alle sinnvollen Hilfsmittel nicht erlaubt sind?

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Die Kritik kannst du direkt an meine Lehrer ausüben :-)


Finde kein Video wo schriit für schritt erklärt wird wie man die Grundfläche ausrechent, diese dann mit der Höher Multipliziert  und so das Volumen rausbekommt.

Jeder Versuch von mir Scheitert. Ich bekomme nicht das richtige Ergebis raus.

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Wie lautet denn die eigentliche Aufgabenstellung?

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Gegeben ist die Pyramide ABCS durch die Punkte A(5/0/0), B(3/4/1),C(1,5/-2/2,5)und s(3/2/5), die von den Vektoren u =AB, v=AC und w=AS aufgespannt wird. M der der Mittelpunkt von [AB], der Punkt T teile die Strecke [CB] im Verhältnis 2:1.

(a) ...

(b)..

(c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCS und der Pyramide MBTS.

Benutze hier kein Skalarprodukt (Kreuzprodukt, Spanprodukt). Diese Aufgabe soll allein mit den Vektoren gelöst werden.

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Ok, alles klar! Dann beachte, dass es sich bei deiner Pyramide um einen (allgemeinen) Tetraeder (Vierflächner) handelt, dessen Volumen sich u.a. auch über die Determinante der Matrix seiner Spannvektoren ermitteln lässt, vgl. dazu:

https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder#Allgemeines_Tetraeder_.28dreidimensionales_Simplex.29

Das wäre dann tatsächlich ein sehr einfacher Weg!

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Die Determinante ist gleichzusetzen mit dem Spatprodukt. Ich würde mal vermuten Determinante soll ebenfalls nicht verwendet werden. 

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Von einem Determinantenverbot war nicht die Rede!

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Ok. Dann über die Determinante. Ist auf jedenfall wesentlich einfacher als auf Sklalarprodukt, Kreuzprodukt und Spatprodukt zu verzichten.

Answer 1

AB = B - A = [-2, 4, 1]

AC = C - A = [-3.5, -2, 2.5]

Wir brauchen den Winkel zwischen AB und AC.

α = ACOS([-2, 4, 1]·[-3.5, -2, 2.5]/(ABS([-2, 4, 1])·ABS([-3.5, -2, 2.5]))) = 86.04°

Nun brauche ich einen Normalenvektor.

n = [x, y, z]

Es gilt AB·n = 0 und AC·n = 0

- 2·x + 4·y + 1·z = 0

- 3.5·x - 2·y + 2.5·z = 0

Ich löse in Abhängigkeit von z und erhalte x = 2/3·z ∧ y = z/12. Mit z = 12 ergibt sich also der Normallenvektor n = [8, 1, 12]

Höhe der Pyramide

A + r·AB + s·AC + t·n = S

[5, 0, 0] + r·[-2, 4, 1] + s·[-3.5, -2, 2.5] + t·[8, 1, 12] = [3, 2, 5]

Ich löse das Gleichungssystem und erhalte: r = 479/627 ∧ s = 400/627 ∧ t = 46/209.

Damit ist die Länge der Höhe h = 46/209·|[8, 1, 12]| = 3.182 LE

Volumen der Pyramide

G = 1/2·|AB|·|AC|·SIN(α)

G = 1/2·|[-2, 4, 1]|·|[-3.5, -2, 2.5]|·SIN(86.04°) = 10.84 FE

V = 1/3·G·h = 1/3·10.84·3.182 = 11.50 VE

Nun über die bekannte Formel zur Kontrolle und zu zeigen wie es besser geht

V = 1/6·([-2, 4, 1] ⨯ [-3.5, -2, 2.5])·[-2, 2, 5] = 11.5 VE

Comments

Schit. Habe jetzt erst gelesen das es auch ohne Skalarprodukt sein soll. Dann muss ich nochmal nachdenken.

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ja bitte wäre sehr nett.

und ohne Winkel das haben wir nämlich noch nicht.

Wie Bereche ich denn die Grundfläche und die Höhe?

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Was dürft ihr überhaupt benutzen ? Länge eines Vektors ? Die Komplette Geometrie incl. Kosinussatz etc.

Dann wäre es beinahe einfacher sich das Skalarprodukt herzuleiten und dann trotzdem damit zu rechnen.