AB = B - A = [-2, 4, 1]
AC = C - A = [-3.5, -2, 2.5]
Wir brauchen den Winkel zwischen AB und AC.
α = ACOS([-2, 4, 1]·[-3.5, -2, 2.5]/(ABS([-2, 4, 1])·ABS([-3.5, -2, 2.5]))) = 86.04°
Nun brauche ich einen Normalenvektor.
n = [x, y, z]
Es gilt AB·n = 0 und AC·n = 0
- 2·x + 4·y + 1·z = 0
- 3.5·x - 2·y + 2.5·z = 0
Ich löse in Abhängigkeit von z und erhalte x = 2/3·z ∧ y = z/12. Mit z = 12 ergibt sich also der Normallenvektor n = [8, 1, 12]
Höhe der Pyramide
A + r·AB + s·AC + t·n = S
[5, 0, 0] + r·[-2, 4, 1] + s·[-3.5, -2, 2.5] + t·[8, 1, 12] = [3, 2, 5]
Ich löse das Gleichungssystem und erhalte: r = 479/627 ∧ s = 400/627 ∧ t = 46/209.
Damit ist die Länge der Höhe h = 46/209·|[8, 1, 12]| = 3.182 LE
Volumen der Pyramide
G = 1/2·|AB|·|AC|·SIN(α)
G = 1/2·|[-2, 4, 1]|·|[-3.5, -2, 2.5]|·SIN(86.04°) = 10.84 FE
V = 1/3·G·h = 1/3·10.84·3.182 = 11.50 VE
Nun über die bekannte Formel zur Kontrolle und zu zeigen wie es besser geht
V = 1/6·([-2, 4, 1] ⨯ [-3.5, -2, 2.5])·[-2, 2, 5] = 11.5 VE