Question

S(6/-1/16) ist die Spitze einer dreiseitigen Pyramide ABCS mit der Basis ABC

A ( 4 / -4 /3 )

B ( 5/4/6)

C (7 / 0/2)

Die Länge der Höhe und die Koordinaten des Fußpunktes sind zu bestimmen.

Wer kennt sich aus =) ?

Answer 1

Bestimme die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A, B und C gegeben ist.

Berechne dann die Normale zu dieser Ebene, die durch S geht.

Berechne den Schnittpunkt der Normalen mit der Ebene - das ist der Fußpunkt F der Höhe.

Berechne anschließend die Länge des Vektors FS.

Comments

der normavektor = AB kreuz AC

Fußpunkt  X malnormalvektor mal A mal normalvektor

 X= S + t mal normalvektor

oder ??

LG

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@Anonym:

der normalvektor = AB kreuz AC

richtig.

Fußpunkt  X

malnormalvektor mal A mal normalvektor . Ist so unverständliche. Du müsstest das begründen.

Stell aber einfacher und klarer (wie JotEs vorschlägt) eine Ebenengleichung für ABC auf und löse dann das Schnittproblem mit:

 0X= 0S + t mal normalvektor

ist ok.

Wenn du den Fusspunkt nicht brauchst, kannst du auch das Spatprodukt benutzen.

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ich kenn mich überhaupt nicht aus

könntest du mir das vorrechnen das ich Rechengang nachvollziehen kann ?


bitte dich =) alles liebe

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@Anonym: Was JotEs hier beschreibt, ist eine Kombination von Grundaufgaben. Es bringt dir wenig, wenn du die alle bei einem Beispiel zum ersten Mal siehst.
(Hier folgen noch ein paar LInks zu vorgerechneten Grundaufgaben)

https://www.mathelounge.de/29964/ebene-durch-und-suche-alle-vektoren-die-auf-senkrecht-stehen

https://www.mathelounge.de/29876/gegeben-sind-die-punkte-r-4-3-4-s-8-9-8-und-q-2-3-6-g-durch-r-und-s

https://www.mathelounge.de/21405/schnittpunkt-von-gerade-und-ebene-g-x-2-1-5-r-4-1-2-e-2x1-4x2-x3-12

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Was genau ist das Spatprodukt??

Lg

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Das Spatprodukt ist das Volumen eines Parallelpiped oder Parallelflachs welches von drei Vektoren aufgespannt wird. Bzw. eigentlich ist das Volumen der Betrag des Spatproduktes.

https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelepiped

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das habe ich als lösung

AB =1 8 3

AC = 3 4 -1

normalvektor = 2 -1- 2


nun hab ich die Gleichungen aufgestellt und die eine in die andere eingetzt

2x-y+2z= 8+4+6

x=6+2t

y=-1-t

z= 16 +2t


2(6+2t)- (-1-t)+2(16+2t)=18

12+4t+1+t+32+4t=18

9t+45= 18 /-45

9t =-27

t= -3

ist das richtig ? danach muss ich t einsetzen in x= 6+2 (-3)

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Ja. Das sieht soweit gut aus. Du hast einmal den Normalenvektor falsch aufgeschrieben aber dann trotzdem mit dem richtigen weitergerechnet.

Ich habe noch mal eine Rechnung zum Vergleich eingestellt.

Answer 2

S = [6, -1, 16]
A = [4, -4, 3]
B = [5, 4, 6]
C = [7, 0, 2]

AB = [5, 4, 6] - [4, -4, 3] = [1, 8, 3]

AC = [7, 0, 2] - [4, -4, 3] = [3, 4, -1]

n = [1, 8, 3] x [3, 4, -1] = [-20, 10, -20] = -10 * [2, -1, 2]

Ebenengleichung aufstellen

E: x = [4, -4, 3] + r * [1, 8, 3] + s * [3, 4, -1]

E: 2·x - y + 2·z = [4, -4, 3] * [2, -1, 2] = 18

Gleichung der Höhe aufstellen

h: [6, -1, 16] + r * [2, -1, 2] = [2·r + 6, -r - 1, 2·r + 16]

Höhe in Ebene einsetzen um Fusspunkt zu ermitteln

2·(2·r + 6) - (-r - 1) + 2·(2·r + 16) = 18
9·r + 45 = 18
r = -3

F = [2·(-3) + 6, -(-3) - 1, 2·(-3) + 16] = [0, 2, 10]

|FS| = |[6, -1, 16] - [0, 2, 10]| = |[6, -3, 6]| = 9

Comments

In der Zeile des Fußpunktes hast du doch einen 2er vergessen oder 2* (2* 7-39 +16

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Ich verstehe momentan nicht welche Zeile du meinst.

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die vorletzte beginnt mit F

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Dort habe ich die Gerade der Höhe genommen

F = [2·r + 6, -r - 1, 2·r + 16] 

und dort für r meine -3 eingesetzt.