Vektorgeometrie, Volumen und Koordinaten einer Dreieckspyramide

Question

Hi Leute

Folgende Frage:

Die Dreieckspyramide ABCD hat das Volumen 4000. Eine Normale zur Ebene ABC durch den Punkt D schneidet die Ebene im Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. Wie lauten die Koordinaten  von D?

A(0,1,6)

B(12,43,0)

C(12,13,30)

Um eine ausführliche Antwort, die möglichst Schritt für Schritt genau erklärt was getan werden muss, wäre ich dankbar!

Gruss und einen weiterhin schönen Sonntag

Answer 1

Bist du selber in der Lage den Schwerpunkt des Dreiecks zu berechnen und den Normalenvektor?

M = 1/3·([0, 1, 6] + [12, 43, 0] + [12, 13, 30]) = [8, 19, 12]

N = ([12, 43, 0] - [0, 1, 6]) ⨯ ([12, 13, 30] - [0, 1, 6]) = [1080, -360, -360] = 360·[3, -1, -1]

G = 1/2·|[1080, -360, -360]| = 180·√11

|N| = |[3, -1, -1]| = √11

1/3·180·√11·r·√11 = 4000 --> r = 200/33

P = [8, 19, 12] + 200/33·[3, -1, -1] = [288/11, 427/33, 196/33]