Extremwertaufgabe: Wie lang ist der kürzeste Balken, den man dafür benutzen kann?

Question

Aufgabe:

Die Seitenwand eines Gebäudes soll durch einen Balken abgestützt werden, der über eine 1,35 hohe Mauer gelegt werden soll. Diese hat von der Wand einen Abstand von 3,5 m (vergleiche hierzu die nachstehende Abbildung). Wie lang ist der kürzeste Balken, den man dafür benutzen kann?

Was ist hier die Hauptbedingung und was nebenbedingung? Wie erkenne ich das und was mache ich damit?

Comments

Man schaut sich an, wie die Zusammenhänge mathematisch dargestellt werden können.

Hier zum Beispiel welche Längenverhältnisse Einfluss auf die Balkenlänge haben. Vielleicht ist auch der eine oder andere Winkel interessant?

Answer 1

Zielfunktion aufstellen. Enthält die Zielfunktion mehr als eine Unbekannte substituiere gemäß den Nebenbedingungen jeweils die unbekannten, bis nur noch eine da ist. Dann die Zielfunktion ableiten und Null setzen. Im Zweifel die lokalen Extremwerte mit den Randwerten vergleichen.

NB

y/3.5 = (y + 1.35)/g

g = 3.5 * (y + 1.35)/y

Zielfunktion für HB

L^2 = g^2 + (y + 1.35)^2

L^2 = (3.5 * (y + 1.35)/y)^2 + (y + 1.35)^2

L^2 = y^2 + 27·y/10 + 1323/(40·y) + 35721/(1600·y^2) + 5629/400

L^2' = 2·y - 1323/(40·y^2) - 35721/(800·y^3) + 27/10 = 0

y = 2.548 m

Answer 2

In der Überschrift fragst du nach einem Rezept für Extremwertaufgaben. Ich geb dir eine Vorgehensweise.

1. Wenn möglich, Skizze anlegen (hier schon gegeben). Bekannte Teile eintragen.

2. Was soll extrem werden und welche Formel lässt sich dafür angeben? Benenne unbekannte Teile mit Buchstaben. Das Ergebnis ist die Hauptrbedingung

3. Welche Beziehungen bestehen zwischen den bekannten und den unbekannten Teilen (meistens: Längen) der Skizze (häufig braucht man hier Sätze, wie die Strahlensätze oder Sätze von Euklid und Pythagoras). Das Ergebnis sind (ist) die Nebenbedingung/en.

4. Nebenbedingungen in die Hauptbedingung einsetzen, bis im Funktionsterm nur noch eine Variable vorkommt.

5. Ableitng Null setzen und das weitere Programm der Differentialrechnung.