Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens ein Ass zu ziehen, gegeben höchstens zwei der Karten sind rot

Question

habe die oben genannte Aufgabe versucht zu lösen, es aber nicht geschafft.

Es gibt insgesamt 32 Karten und es werden 3 gezogen also |Ω|= nCr(32,3).

Für A= {höchstens 2 rote Karten} = {genau 2 rote} u {genau 1 rote} u {genau 0 rote}

und |A|= nCr(16,2)*nCr(16,1) + nCr(16,1)*nCr(16,2) + nCr(16,0)*nCr(16,3)

B ={mind. 1 Ass} = {genau 1 Ass} u { genau 2 Asse} u {genau 3 Asse}

wie gehts jetzt weiter?

Answer 1

Mach es viel einfacher. Rechne mit dem Gegenereignis:

P(höchstens 2 rote Karten) = 1 - P(3 rote Karten)

P(mindestens 1 Ass) = 1 - P(kein Ass)

Comments

Das wäre dann P(A)=1 - (16/32 * 15/31 * 14/31)

und  P(B)= 1 - 28/32

Wie verbinde ich die nun miteinander? Das soll ja eine bedingte Wahrscheinlichkeit sein und die Wahrscheinlichkeit einen Ass zu bekommen ändert sich je nachdem oder nicht?

Also P(AnB)= {zwei rote, ein Ass} u {zwei rote, zwei Asse} u {zwei rote, drei Asse} usw.

Wie bekomme ich das hin?

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Du möchtest

P(B | A) = P(A und B) / P(A)

P(A und B) = 1 - P(nicht A) - P(nicht B) + P(nicht A und nicht B)

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Ist P(A und B) nicht = P(A) * P(B) ??
und was genau wäre nicht A und nicht B hier?

 ist P(nicht A)= 1-P(A)?

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P(A und B) nicht = P(A) * P(B)

Achtung. Das gilt nur! bei Unabhängigkeit. Wenn es Abhängig sein könnte darfst du das nicht nehmen. Aber du kannst es prüfen um eine abhängigkeit oder unabhängigkeit zu zeigen.

Du darfst aber davon ausgehen, dass

P(nicht A) = 1 - P(A) 

ist.

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P(A) = 1 - (16/32 * 15/31 * 14/31)= 0.89073881373

P(nicht A) = 0.10926118627

P(B)=0.125

P(nicht B)= 0.875

Wie komme ich auf P(nicht A und nicht B)? Da kann ich ja nicht P(nicht A)*P(nicht B) nehmen oder?

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Nein Das darfst du nicht. Aber formuliere doch mal P(nicht A und nicht B)

Das ist doch die Wahrscheinlichkeit 3 rote Karten und kein Ass zu haben. Das ist sicher einfach zu berechnen.

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also wir haben ja 16 rote karten und davon sind 2 asse, also 14 rote karten die wir ziehen können und dann->
P(nA und nB)= 14/16 * 13/15 * 12/14 ? wäre das so richtig?

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Du ziehst aus 32 Karten oder?

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tut mir leid für die späte Antwort >.>

Also wären das P(nA und nB)= 14/32 *13/31 * 12/30

Nochmal von vorne um zu schauen ob ich alles richtig verstanden habe:

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Ass zu ziehen, gegeben dass höchstens 2 rote Karten gezogen werden. -> bedingte Wahrscheinlichkeit, wegen der Bedingung, dass höchstens 2 rote Karten gezogen werden dürfen

Es werden die Ereignisse definiert:

A = {höchstens 2 rote Karten ziehen}

B = {mindestens 1 Ass ziehen }

Wir wollen P(B|A) = P(B und A) / P(A)   -> Es gibt keinen Unterschied zwischen P(A und B) und P(B und A) oder?

P(A) kriegen wir leicht mit dem Gegenereignis, also A^c = {wir ziehen 3 rote Karten} und P(A)= 1 - P(A^c),

wobei:

P(A^c) = 16/32 * 15/31 * 14/30, da wir 16 rote Karten haben und insgesamt 32, ohne zurücklegen der Karten

Ich habe im Skript diese Formel gefunden mit P(A oder B) = P(A) + P(B) - P(A und B)

Wir wollen jetzt P(A und B). Ist das gleiche wie 1 - P(A^c oder B^c) oder? und P(A^c oder B^c) = P(A^c) + P(B^c) - P(A^c und B^c), wobei B^c das Gegenereignis von B mit B^c = {kein Ass ziehen) ist.

Es folgt P(A und B) = 1 - P(A^c oder B^c) = 1 - P(A^c) + P(B^c) - P(A^c und B^c)

P(A^c) haben wir schon

P(B^c) = 28/32 * 27/31 * 26/30, da wir 4 Asse haben und diese nicht gezogen werden dürfen und insgesamt 32 Karten und alles ohne zurücklegen

P(A^c und B^c) = {3 rote Karten ziehen und keine Asse}, wurde am Anfang ja schon besprochen, also

P(A^c und B^c) = 14/32 *13/31 * 12/30

Der Rest wäre dann ja nur noch einsetzen der Werte.

Das wäre so richtig oder?

Nochmals Danke für die Hilfe