Gruppen mit natürlichen Zahlen..abelsch oder nicht abelsch?

Question

Richtig oder falsch:(i) Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 ist die Gruppe S_n abelsch.(ii) Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 ist die Gruppe S_n nicht abelsch.

Answer 1

S_n ist jeweils die Gruppe der Permutationen der Menge {1,2,3,... ,n}

(i)  Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 ist die Gruppe S_n abelsch

ist falsch 

Gegenbeispiel in S₃    (nicht abelsch = nicht kommutativ)

 1  2  3      o     1  2   3      =    1  2  3       ≠      1  2  3     =     1  2  3     o     1  2  3

 2  3  1             2  1  3             3  2  1               1  3  2             2  1  3           2  3  1

(ii) Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 ist die Gruppe S_n nicht abelsch. 

 S_n ist nicht abelsch für   n > 2 , denn man könnte die Zahlen 1,2 und 3 wie oben permutieren und 4 bis n unverändert lassen.

S₂ ist abelsch,  die Aussage ist also falsch

Das kannst du für die beiden Elemente von S₂ leicht nachprüfen.

Gruß Wolfgang