Welche Einheit besitzt mein F(t)? f(t) ist Änderungsrate der Schadstoffmenge

Question

Aufgabe zur Logarithmusfunktion - Schadstoffmessung:

Ein Institut nimmt seit Januar 1970 (t=0) Schadstoffmessungen vor. Die Messungen erfolgen jeweils zum Ersten eines Monats. Die Änderungsrate der Schadstoffmenge wird in guter Näherung durch die Funktion \( f(t) \) beschrieben:

\( f(t)=\frac{8 t-2}{4 t^{2}-2 t+2981} ; t \geqslant 0 \)

\( t \) in Monaten, \( f(t): \) Anderung der Schadstoffmenge in Mengeneinheiten (ME) pro Monat.)

Die Schadstoffmenge in Abhängigkeit von der Zeit wird damit durch die Funktion F mit

\( P(t)=\ln \left(4 t^{2}-2 t+2981\right)+12 \)

beschrieben.

e) Mit Hilfe des Integrals

\( \int \limits_{0}^{144}\left(\ln \left(4 t^{2}-2 t+2981\right)+12\right) \mathrm{d} t \approx 10551 \)

wird die Gesamtmenge an Schadstoffen für den Zeitraum von Beginn der Messung bis 444 Monate (37 Jahre) danach berechnet, also von Januar 1970 bis Januar 2007, da alle Schadstoffmengen, die durch die Funktion \( F(t)=\ln \left(4 t^{2}-2 t+2981\right)+12 \) beschrieben werden, durch die Integration aufsummiert werden. Die Gesamtmenge beträgt also etwa
\( 10551 \mathrm{ME} \).

Ansatz/Problem:

Ich habe eine Funktion f(t)=(8t-2)/(4t^2-2t+2981)

Möchte ich jetzt die Mengenheiten pro Monat darstellen benöte ich ja die Stammfunktion von f(t).

Nun meine Frage: Habe ich dann die Mengenheiten der Schadstoffmenge wieder pro Monat oder nur die schadstoffmenge (ohne das pro monat)? genauer gefragt was gibt mein F(t) dann an?

Answer 1

Die Stammfunktion ist die Fläche unter dem Graphen. Das bedeutet du multiplizierst die Einheit der x-Achse mit der Einheit der y-Achse. hier t und f(t).

Das bedeutet du hast hier als Einheit

Monat * Schadstoffmenge / Monat = Schadstoffmenge

Die Einheit ist also die Schadstoffmenge in ME ohne das pro Monat.

Comments

....Vielen dank schonmal.

das beduetet also, wenn ich die Stammfunktion bilde von f(t) behalteich die Einheit ME pro Monat bei und komme nur von meiner Änderung los? habe ich das richtig verstanden?

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meine Frage zieltnämlich auf die einheit von F(T) ab.....da bin ich mir unsicher...

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Ja genau. Wenn z.B. die x- Achse die Zeit in Stunden ist und die y-Achse die Änderung der Strecke in km/h. Dann ist die Stammfunktion

h * km/h = km

also eine Strecke.

Wichtig ist dabei das wenn auf der x-Achse die Zeit in Monaten angegeben wird die Äderungsrate auch pro Monat angegeben wird damit es sich schön weghebt. Ansonsten muss man erst noch eine Umrechnung machen.

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Dann habe ich noch eine Frage.

Wenn ich mein F(t) habe, welche dann ja meine schadstoffmenge proMonat angibt.

Nun rechne ich es für t=5 aus.

Dann erhalte ich ja einen Wert für den Monat z.B Mai.

Schreibe ich dann im Monat Mai beträgt meine Schadtsoffmenge ****ME

oder imMonat Mai beträgt meine Schadstoffmenge ***ME PRO MONAT?

Das wäre meine letzte Frage....

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Hatten wir uns nicht darauf geeinigt das die Stammfunktion F(t) die Einheit Schadstoffmenge in ME hat.

Um eine Eindeutige Stammfunktion zu haben sollte aber eine Anfangsschadstoffkonzentration gegeben sein. z.B. F(0) = 0

Ansonsten wissen wir ja, dass es unendlich viele Stammfunktionen gibt, die sich alle durch einen konstanten Summanden unterscheiden.

F(t) gibt dann die Schadstoffmenge nach 5 Monaten aus. bzw. die totale Veränderung in ME seit Beobachtungsbeginn.

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Dann muss ich meine Frage nochmal  genauer stellen.

Ja, ich habe dann diese Stammfunktion.

Nun soll ich aber das Integral mit den Grenzen 0-444 bilden von F(t)

das heißt, ich müsste ja nochmal die Stammfunktion von F(t) bilden.

In der Lösung steht dann dass man auf ca. *** mengeneinheiten kommt,

Aber das verstehe ich nicht.

Wenn ich jetzt nochmal das Integral bilde rechne ich ja ME*Monat ...wie kann dann am ende ME rauskommen?

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Das kann eigentlich nicht herauskommen. Ich fürde dich mal bitten die Aufgabe in genauem Wortlaut hier einzustellen.
Ist denn F(t) selber schon gegeben?

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f(t) = (8t - 2) / (4t² - 2t + 2981)

F(t) = LN(4·t^2 - 2·t + 2981)

∫ (0 bis 444) f(t) dt = F(444) - F(0) = LN(790637) - LN(2981) = 5.580580134 ME

Würde das denn etwa hinkommen ?

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Ja. Alles Klar.
Also F(t) Hat die Einheit ME.
Mathematisch hätte ∫ F(t) dt die Einheit ME * Monat.
Man addiert hier ja aber lauter Mengeneinheiten auf, sodass die sagen das am Ende dann auch wieder ME herauskommen.

Also ich addiere zu den Schadstoffen im Januar die vom Februar und dazu die vom März... usw. Dann habe ich nachher also trotzdem eine Schadstoffmenge, allerdings aufsummiert über die Monate.

Und natürlich summiert man bei einer Stammfunktion nicht so diskret wie in meinem Beispiel sondern halt stetig.

Also ist das hier eine Reine Definitionssache.

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Vielleicht ein anderen Beispiel. Ich habe 3 Kinder die 5, 7 und 8 Jahre als sind. Summiere ich jetzt das Alter über alle Kinder würde ich Mathematisch.
5 + 7 + 8 = 20 Kinderjahre erhalten

Ich definiere dann aber da diese Einheit unsinnig klingt das das auch 20 Jahre sein sollen.

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oke schonmal vielen dank...

eine frage bleibt aber irgendwie noch bestehen..

was hätte ich denn raus wenn ich das Integral von f(t) bilde....mit den grenzen 0-444

So wie du es vorher gedacht hast ...


.wo liegt da jetzt der unterschied...? Die ergebnisse können ja am ende nicht die selben sein ...aber vom sinn her mache ich doch das gleiche

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F(444) - F(0) ist die absolute Schadstoffzu- bzw. Abnahme in ME in 444 Monaten sei Beobachtungsbeginn.

Wir rechnen ja Schadstoffe nach 444 Monaten minus Schdstoffe am Beobachtungsbeginn und erhalten deswegen die Differenz. Was ist also an Schadstoffen seit Beobachtungsbeginn dazugekommen.

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Normalerweise summiert man nicht alle Schadstoffmengen auf, weil das eigentlich keine Aussage ibt. Vor allem nicht wenn man nicht weiß wie oft abgelesen wird.

Nimm einfach mal 2 Leute die über einen Tag die Temperatur Messen und diese aufaddieren. Der eine geht jede Stunde zum Thermometer und addiert die ganzen Temperaturen auf.

Der zweite ist etwas fleißiger und geht jede halbe Stunde hin und addiert seine Temperaturen auf. 

Was sagen uns die beiden Ergebnisse? Vor allem wenn ich sie beide in Grad angebe? Rein gar nichts.

Wenn man Temperaturen aufaddiert wird normalerweise immer noch durch die Anzahl der Additionen geteilt, sodass man einen Mittelwert bekommt.

Für den Mittelwert könnte man rechnen

Mittelwert = ∫ _{(0 bis n)} F(t) dt / n

Also ich addiere die Schadstoffe über alle Monate und teile dann durch Monate. Dann würde ich auch Mathematisch korrekt.

Schadstoffe * Monate / Monate = Schadstoffe 

herausbekommen.

Vielleicht wollen die in einem folgenden Aufgabenteil ja darauf hinaus?

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schonmal vielen vielen dank für deine Mühe ....ich kann alles eigentlich nachvollziehen ...nur ...leider habe ich immer noch nicht verstanden was der unterschied ist zwischen

Integral (F(t) ) und Integral (f(t)) mit den grenzen 0-444

...

weil wenn ich ja f(t) integriere zusammen mit den genzen 0-444, hätte ich ja eigentlich auch die schadstoffmenge, so wie du es oben erklärt hast raus....das ist mir noch nicht ganz klar....


Nein, in der nächsten Aufgabe, wollen sie leidernicht darauf hinaus dass ich am ende noch dividieren muss ...., aber diese aufgabestellung ist mir schon bekannt....darüber habe ich das letzte mal gegrübelt.

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denn bei beiden Integralen trifft es ja zu, dass die Messung immer am Monatsanfang vorgenommen wird ....wenn es vorher in der aufgabenstellung(siehe Bild)  steht ...

das ändert sich ja nicht bei der Integralbildung ...?

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Wie gesagt bei Integral (f(t)) in den Grenzen von 0 bis 444 bekommst du den Unterschied der Schadstoffe nach 444 Monaten minus die Schadstoffe am Anfang.

Wenn du F(t) integrierst addierst du die Schadstoffe im Januar + die im Februar + die im März und das über alle 444 Monate. 

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aber warum mache ich bei dem ersten das und bei dem anderen das andere :O?

Wieso einmal den Unterschied und dann bei dem anderen aufaddieren?

Habe doch bei  beiden die Grenzen 0 und 444

...kannst du mir das nochmal erklären ...denn ein Integral/ eine Flächeberechnen...ist das immer das selbe :O?

Iwie komme ich da gerade nich nicht weiter....

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ich habe mir gerade nochmal gedanken darüber gemacht ..

also wenn ich bei dem Integral f(t) das mit den grenzen macht ...verstehe ich jetzt warum ich dann ja bei der grenze 0...noch den anfangswert subtrahiere ...

...nun komme ich nicht drauf was ich bei dem Integral F(t)  dann am ende bei der grenze 0 abziehe? ...das muss ja auch irgendwas sein ....?

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Das was Lu sagt macht durchaus Sinn wenn nicht einfach eine Schadstoffmenge gemessen wird sondern die Schadstoffmenge, die von einem Industriebetrieb ausgestoßen wird.

Deswegen wäre es sinnvoll gewesen den gesamten Aufgabentext zu haben und nicht nur irgendwelche Bruchstücke aus denen man sich den Rest zusammenreimen muss.

Answer 2

Vorweg: Bin mit der Antwort von Mathecoach zufrieden: Am Schluss von F zum bestimmten Integral von F sind das ME, die über die Zeit aufsummiert wurden.

Ich beziehe mich jetzt mal auf die drei Abbildungen, bzw. den Text darüber:

f(t)=(8t-2)/(4t²-2t+2981) 

t in Monaten und f(t) gibt die Änderungsrate der Schadstoffmenge in Mengeneinheiten(ME) pro Monat 

Was du hier als Änderungsrate gegeben hast, ist im Prinzip eine Beschleunigung, resp. eine Verlangsamung der Schadstoffzunahme. Nimm mal an die sei konstant positiv und die Zeiteinheit sei Sekunden, dann kannst du das mit dem freien Fall vergleichen. (Glücklicherweise ist das nicht die Realität!). Also jede Sekunde + 9.81 ME Schadstoffausstoss. Heiss zuerst 0, dann 9.81, dann 9.81*9.81= 2*9.81 … sind die Ausstosszahlen in ME in einer bestimmten ZE(Zeiteinheit). 

Analogie zum freien Fall. g=9.81 m/s^2. Wenn du von a(t) von 0 bist T integrierst, bekommst du die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t. also v(T). 

v(2) = 2*9.81 m/s. Heisst zum Zeitpunkt t=2 wird in 1 Sekunde 2*9.81 Meter zurückgelegt. 

Wenn du nun v(t) von 0 bis T integrierst, hast du s(T): den zurückgelegten Weg in Metern.

Das gibt dann immer noch Meter.

Analogie zum freien Fall. g=9.81 m/s^2. Wenn du integrierst, bekommst du die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t. also v(t). 

 

v(2) = 2*9.81 m/s. Heisst zum Zeitpunkt t=2 wird in 1 Sekunde 2*9.81 Meter zurückgelegt. Das wären die 2*9.81 ME im Monat Nr. 2. Also F(2).

Wenn du nun v(t) von 0 bis T integrierst, hast du s(T): den zurückgelegten Weg in Metern.

Das gibt dann immer noch Meter. Hier addierst du 0 + 9.81 + 2*9.81 + … ME.

Aus dem Vergleich zur Physik, würde ich jetzt schon erlauben, dass f(t) die Einheit ME/ Mt^2 hat. Änderung der momentanen Schadstoffzunahme.

F(t) die Einheit ME/Mt. momentane Schadstoffzunahme.

und das bestimmte Integral von F(t) die totale Schadstoffzunahme seit 1970 hätte die Einheit ME.

Ich komme also hier auf 

f(t) Einheit ME/Mt^2

F(t) Einheit ME/Mt

und 

bestimmtes Integral von F von 0 bis 444: Einheit ME

Comments

Jetzt kommen wir der ganzen Sache schon etwas näher ...

nehmen wir an ...das wäre mit den Einheiten so ...

Dann frage ich mich warum bei F(4)=****ME steht

also als Antwortsatz steht dann: Im 4. Monat beträgt die Schadstoffmenge ***ME und nicht ME pro Monat ....das verwirrt mich ...

Für die Schadstoffimenge im Januar 1980 (120 Monate) ergibt sich damit:
\( F(120)=\ln \left(4 \cdot 120^{2}-2 \cdot 120+2981\right)+12 \approx 23,01 \)
Im Januar 1980 beträgt die Schadstoffmenge etwa 23 ME.

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Das ist so, wie wenn du sagst. dass der Stein in der 4. Sekunde (näherungsweise) 4*9.81 Meter zurücklegt: Momentangeschweindigkeit: 4*9.81 m/s.
Deine 23 ME sind deine momentanen (Januar 1980) 23 ME/Monat.

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bedeutet dies ...das in dem Satz

.."im Jahr / nach 120 Monaten***" ...das pro! Monat ...also die Einheit ME/Monat schon noch drin steckt?....habe ich das richtig verstanden ..

also dann 32ME Pro Monat 120?

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also dann 32ME Pro Monat im Monat Nr. 120

Ja im Monat Nr. 120 werden ME Schadstoff ausgestossen.