Globale und lokale Extremstellen von f:(−∞,3]→R:x →−(x+2)e^{−x}.

Question

1. Es sei f:(−∞,3]→R:x →−(x+2)e^−x.

   (b) Untersuchen Sie f auf lokale Extremstellen.
   (c) Untersuchen Sie f auf globale Extremstellen.

Answer 1

$$f(x)=-(x+2){ e }^{ -x }\\f'(x)=-{ e }^{ -x }+(x+2){ e }^{ -x }=(x+1){ e }^{ -x }=0\\{ x }=-1 \\f''(x)=   { e }^{ -x }-(x+1){ e }^{ -x }=-x{ e }^{ -x }      \\f''(-1)=+e>0, \text{also bei x=-1 lokales Minimum}      \\f(-1)=-{ e }\\\text{global: auch bei den Randwerten kann ein Extremum vorliegen}\\\lim_{x\to-\infty} -(x+2){ e }^{ -x }=+\infty\\\text{ --> es gibt kein globales Maximum}\\f(3)=-5{ e }^{ -3 }>-{ e }\\\text{kein weiteres Extremum} $$

Answer 2

f(x) = - e^{-x}·(x + 2)

f'(x) = e^{-x}·(x + 1) = 0 --> x = -1

lim (x --> -∞) f(x) = ∞

f(-1) = -e = -2.718

f(3) = -5·e^{-3} = -0.2489

Comments

bei f(x) fehlt ein Minuszeichen

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Oh danke. Ich habe das korrigiert. Wird ja alles nur mal -1 gerechnet.