Gleichung einer Tangente aufstellen und Punkte ermitteln?

Question

Gegeben ist folgende Funktionsgleichung: f(x) = 1/4x²

1) Geben Sie die Gleichung der Tangente an f im Punkt P(2|f(2))
2) Ermitteln Sie, an welchem Punkt diese Tangente die Tangente an f im Punkt Q(-4|f(-4)) schneidet.

Wie gehe ich jetzt vor? Ich habe leider keine Idee. Allgemein tue ich mich mit Tangenten schwer.

Comments

Wie in der anderen Antwort bereits berechnet ist
P ( 2 |1 )
und die Steigung f ´( 2 ) = 1/2 * 2 = 1

Tangente durch P
y = m * x + b
1 = 1 * 2 + b
b = -1

t ( x ) = 1 * x   - 1 = x - 1

2) Ermitteln Sie, an welchem Punkt diese Tangente die Tangente an f im
Punkt Q(-4|f(-4)) schneidet.

f ( -4 ) = 1/4 * (-4)^2 = 4
Q ( -4 | 4 )
f´ ( -4 ) = 1 / 2 * ( -4 ) = -2

y = m * x + b
4 = -2 * ( -4 ) + b
b = -4

t2 ( x ) = -2 * x  - 4

Schnittpunkt
t ( x ) = t2 ( x )
x -1 = -2 * x - 4
3 * x = -3
x = -1

t ( -1 ) = -1 -1 = -2
Schnittpunkt ( -1 | -2 )

Answer 1

Tangenten sind Geraden, die durch den Berührpunkt der tangierten Funktion gehen und die gleiche Steigung haben, wie die Funktion in diesem Punkt. Ist die Funktion $$ f(x)=\frac{1}{4}x^2 $$ so ist f(2)=1. Also geht die gesuchte Tangente durch den Punkt P(2,1). Die Steigung der Funktion ist durch ihre Ableitung gegeben $$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}x $$ d.h. die Steigung an der Stelle 2 ist f'(2)=1. Geht eine Gerade durch einen Punkt (u,v) und hat die Steigung m, so lautet ihre Funktionsgleichung $$ g(x)=m(x-u)+v $$ Also in diesem Fall für unsere Tangente $$ t(x)=1(x-2)+1=x-1 $$

zu 2.) f(-4)=4. und f'(-4)=-2. Also ergibt sich direkt die Funktionsgleichung für t₂ $$ t_2(x)=-2(x+4)+4=-2x-4 $$ Um den Schnittpunkt x_s zu berechnen, setze ich beide Funktionen gleich $$ t_1(x_s)=x_s-1=t_s(x_s)=-2x_s-4 $$ $$ x_s+2x_s=-4+1 $$ $$ 3x_s=-3 $$ $$x_s=-1$$Für den dazugehörigen Funktionswert, setzt man x_s in eine der beiden Funktionen der Tangenten ein. t₁(x_s)=x_s-1=-2. Der Schnittpunkt ist demnach (-1,-2).

~plot~ x^2/4;x-1;{2|1};-2x-4;{-4|4};[[-7|7|-4.5|5.5]];{-1|-2} ~plot~

Gruß Werner