Hallo (keine Panik),
1.1) Schnittpunkte bestimmt man durch Gleichsetzen der Funktionen. Hier $$ f(x)=g(x)=(x+1)^2 \cdot e^{-x} = 2(x+1)\cdot e^{-x}$$ teile die Gleichung durch \(e^{-x} \). Da dies nie zu 0 wird, braucht man auch keine Fallunterscheideung zu machen. $$ (x+1)^2=2(x+1) $$ Hier können wir jetzt zwei Fälle unterscheiden.
Erster Fall \( x+1 =0\). Dann ist \(x_1=-1 \). Das ist der Schnittpunkt, der auf der Abbildung zu sehen ist.
Zweiter Fall \( x+1 \neq 0\). Dann kann man durch \(x+1\) teilen und erhält \(x+1=2\) bzw. \(x=1\). Dies wäre dann der zweite Schnittpunkt.
Zur Berechnung der Extrempunkte von f gilt es, die Ableitung zu bestimmen. Nach der Produktregel und der Kettenregel ist $$f^{\prime}(x)=2(x+1)\cdot e^{-x} + (x+1)^2 \cdot (-1) \cdot e^{-x}$$ $$=(2x+2-x^2-2x-1)\cdot e^{-x}=(1-x^2)\cdot e^{-x}$$ diese Funktion wird nur dann zu 0, wenn \(1-x^2\) zu 0 wird. Also sind die beiden Kandidaten für die Extremstellen \(x_{1,2}=\pm1 \). Um die Art der Extremstellen zu klären, muss auch die zweite Ableitung berechnet werden. $$f^{\prime \prime}(x)=-2x\cdot e^{-x}+(1-x^2)\cdot(-1)\cdot e^{-x}=(-2x-1+x^2)\cdot e^{-x}$$Da \(e^{-x}\) immer größer als 0 ist, braucht man hier nur den Term \( -2x-1+x^2\) zu betrachten. Es ist \( f^{\prime \prime}(x_1=-1)=2\cdot e^{-1} \gt 0\). demnach liegt bei \(x_1\) ein Minimum vor. Und \( f^{\prime \prime}(x_2=1)=-2\cdot e^{-1} \lt0\) - also ein Maximum bei \(x_2 \).
1.2) Das Verhalten, wenn x gegen Unendlich geht.
Bei \(f(x) \) liegt der Extremwert mit dem höchsten x-Wert bei 1. Dieses Extremum ist ein Maximum und danach geht es stets bergab - d.h. die Funktion ist ab hier monoton fallend. Gleichzeitig wird ihr Wert aber nie negativ. Es ist also wahrscheinlich, dass sich \(f(x)\) asymptotisch der X-Achse annähert. Berechne ein paar Werte von \(f(x)\) für x=10, x=100 und x=1000.
Zur Abschätzung von \(g(x)\) bestimme ich zunächst die Ableitung $$g^{\prime}(x)=2\cdot e^{-x} + 2(x+1)\cdot(-1)\cdot e^{-x}=-2x\cdot e^{-x}$$Für \(x\gt0\) ist \(g(x)\) immer kleiner 0. D.h. auch diese Funktion ist für große x monoton fallend und ihr Wert bleibt genau wie bei \(f(x)\) immer größer 0 solange \(x\gt0\) ist. Hier gilt das gleiche wie für \(f(x)\).
Gruß Werner
