Vorbemerkung: Konstanten schreibe ich gerne als Großbuchstaben, das betrifft hier den als konstant zu betrachtenden Radius der Halbkugel, den ich daher im folgenden mit dem Großbuchstaben R bezeichne.
Zu maximieren ist also das Volumen V einer quadratischen Pyramide mit dem Grundflächeninhalt g und der Höhe h.
Für das Volumen einer solchen Pyramide gilt:
V ( g, h ) = (1 / 3 ) * g * h
Da die Grundfläche G ein Quadrat mit der Seitenlänge a ist, kann man auch schreiben:
V ( a, h ) = ( 1 / 3 ) * a ² * h
Die Seitenlänge a des Quadrates hängt aufgrund der Aufgabenstellung von der Höhe h der Pyramide ab, denn die Ecken des Quadrates müssen auf der Oberfläche der Halbkugel mit dem Radius R liegen. Das aber bedeutet, dass die halbe Diagonale des Quadrates gleich dem Radius rB des Breitenkreises dieser Halbkugel in der Höhe h über deren Grundkreis sein muss.
Dieser Radius rB wiederum hängt von der Höhe h der Pyramide ab, es gilt nach Pythagoras (Skizze!):
rB 2 ( h ) + h 2 = R 2
<=> rB 2 ( h ) = R 2 - h 2
Ebenfalls nach Pythagoras gilt für die Seitenlänge a eines Quadrates, dessen halbe Diagonale d bekannt ist:
a 2 = d 2 + d 2 = 2 d 2
Vorliegend ist d = r B ( h ) = R 2 - h 2 , also gilt:
a 2 = 2 * r B 2 ( h ) = 2 * ( R 2 - h 2 )
Den Ausdruck 2 * ( R 2 - h 2 ) setzt man nun für a 2 in die oben fett gesetzte Formel V ( a, h ) ein und erhält:
V ( h ) = ( 1 / 3 ) * 2 * ( R 2 - h 2 ) * h
<=> V = ( 2 / 3 ) * R 2 * h - ( 2 / 3 ) * h 3
also einen Ausdruck für das Volumen einer quadratischen Pyramide mit der Höhe h, die einer Halbkugel mit dem Radius R so einbeschrieben ist, dass ihre Spitze in der Mitte des Grundkreises der Halbkugel und ihre vier anderen Ecken in der Höhe h auf der Oberfläche der Halbkugel liegen.
Dieses Volumen V ( h ) soll nun maximiert werden, es soll also derjenige Wert von h bestimmt werden, für den V ( h ) ein Maximum annimmt. Also leitet man V ( h ) nach h ab:
V ' ( h ) = ( 2 / 3 ) * R 2 - 2 * h 2
und setzt diesen Ausdruck gleich Null:
( 2 / 3 ) * R 2 - 2 * h 2 = 0
<=> R 2 / 3 = h 2
<=> h = R / √ 3
Höchstens an dieser Stelle h kann ein Extremwert vorliegen. Da die zweite Ableitung
V ' ' ( h ) = - 4 h
ist und diese für alle positiven Werte von h negativ ist, liegt an der Stelle h = R / √ 3 tatsächlich ein Maximum von V ( h ) vor. Der Wert dieses Maximums, also das maximale Volumen einer Pyramide mit den beschriebenen Eigenschaften, erhält man durch Einsetzen in die zweite, fett gesetzte Formel:
V = ( 2 / 3 ) * R 2 * ( R / √ 3 ) - ( 2 / 3 ) * ( R / √ 3 ) 3 = ... = 4 * R 3 / ( 9 * √ 3 )
