Potenzreihe einer Funktion unter Verwendung der Expotential reihe

Question

ich soll die Potenzreihe von f(x)=cosh(x) unter Verwendung der Expotentialreihe bestimmen. Hierbei würde ich e^x als Potenzreihe herausbekommen, was mir allerdings doch etwas merkwürdig vorkommt. Weiss da einer von euch vielleicht mehr darüber?

Jonas 

Answer 1

die Exponentialreihe lautet

$$ e^x=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac { x^k }{ k! }}\\ $$

Der cosinus hperbolicus wird dargestellt durch:

$$ cosh(x)=\frac { 1 }{ 2 }({ e }^{ x }+{ e }^{ -x }) $$

Setze dort die Potenzreihen für die e-Terme ein:

$$ cosh(x)=\frac { 1 }{ 2 }({ e }^{ x }+{ e }^{ -x })\\=\frac { 1 }{ 2 }(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac { x^k }{ k! }}+\sum_{k=0}^{\infty}{\frac { (-x)^k }{ k! }})\\=\frac { 1 }{ 2 }\sum_{k=0}^{\infty}{\frac { x^k+(-x)^k }{ k! }} $$

Für ungerade k ergibt (-x)^k=-x^k, der Zähler in der Summe wird also 0.

Daher kann man k=2n setzen, wobei n von 0 bis ∞ läuft, da nur hier Beiträge ungleich 0 entstehen:

 $$ \frac { 1 }{ 2 }\sum_{k=0}^{\infty}{\frac { x^k+(-x)^k }{ k! }}\\=\frac { 1 }{ 2 }\sum_{n=0}^{\infty}{\frac { { x }^{ 2n }+{ (-x) }^{ 2n } }{ (2n)! }}\\=\frac { 1 }{ 2 }\sum_{n=0}^{\infty}{\frac { 2{ x }^{ 2n } }{ (2n)! }}\\=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac { { x }^{ 2n } }{ (2n)! }} $$

(Der Entwicklungspunkt ist x₀=0)