die Exponentialreihe lautet
$$ e^x=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac { x^k }{ k! }}\\ $$
Der cosinus hperbolicus wird dargestellt durch:
$$ cosh(x)=\frac { 1 }{ 2 }({ e }^{ x }+{ e }^{ -x }) $$
Setze dort die Potenzreihen für die e-Terme ein:
$$ cosh(x)=\frac { 1 }{ 2 }({ e }^{ x }+{ e }^{ -x })\\=\frac { 1 }{ 2 }(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac { x^k }{ k! }}+\sum_{k=0}^{\infty}{\frac { (-x)^k }{ k! }})\\=\frac { 1 }{ 2 }\sum_{k=0}^{\infty}{\frac { x^k+(-x)^k }{ k! }} $$
Für ungerade k ergibt (-x)^k=-x^k, der Zähler in der Summe wird also 0.
Daher kann man k=2n setzen, wobei n von 0 bis ∞ läuft, da nur hier Beiträge ungleich 0 entstehen:
$$ \frac { 1 }{ 2 }\sum_{k=0}^{\infty}{\frac { x^k+(-x)^k }{ k! }}\\=\frac { 1 }{ 2 }\sum_{n=0}^{\infty}{\frac { { x }^{ 2n }+{ (-x) }^{ 2n } }{ (2n)! }}\\=\frac { 1 }{ 2 }\sum_{n=0}^{\infty}{\frac { 2{ x }^{ 2n } }{ (2n)! }}\\=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac { { x }^{ 2n } }{ (2n)! }} $$
(Der Entwicklungspunkt ist x0=0)
