Warum konvergieren die beiden Folgen? Verständnisfrage zur Definition der Folgen

Question

 $$ Sei ~(a_n)_{n\in\mathbb{N}}~ eine ~beschränkte~Folge~in~\mathbb{R}~ .\\Sei~(x_n)_{n\in\mathbb{N}}:=sup\{a_k:k\geq n\} ~und~(y_n)_{n\in\mathbb{N}}:=inf\{a_k:k\geq n\}.  $$
Warum konvergieren die Folgen x_n und y_n? Mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß kann man zwar argumentieren, dass beide Folgen beschränkt sind und bei beiden mindestens eine Teilfolge konvergiert, aber über bspw. die Monotonie gibt es keine Aussage.

 Ich habe auch Verständnisprobleme bei den Definitionen der Folgen x_n und y_n, kann mir jemand erklären, wie die Folgenglieder aussehen?

Comments

Betrachte mal die Folge \( a_n = \frac{(-1)^n}{n} \) und versuche dir mal die ersten Folgenglieder von \(x_n\) und \(y_n\) bezüglich dieser Folge zu bestimmen. Vielleicht fällt dir was auf (insbesondere bezüglich dem Thema Monotonie).

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Danke, für den Tipp

a_n=-1+1/2-1/3+1/4-1/5... die Folge fällt monoton

x_n=1/2

y_n=-1 , es git ja nur ein Supremum bzw. Infimum...also erkenne ich für die beiden Folgen nichts bzgl. der Monotonie, auch wenn sie nach meiner falschen Auflistung der Glieder monoton fallend und steigen wären, da konstant...

Ich verstehe etwas grundlegendes falsch, so scheint es mir zumindest...

Warum definiert man nicht einfach

$$ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}:=sup\{a_n\} etc.? $$

Wo ist der Sinn noch extra k≥n zu fordern,
n wird doch so oder so unendlich groß?

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Ja du hast die Folgen nicht ganz verstanden: \(x_1\) wäre das Supremum über alle Folgeglieder von \(a_n\), \(x_2\) wäre das Supremum über die Folgeglieder von \(a_n\) ab dem 2. Folgeglied usw.

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a_n =-1+1/2-1/3+1/4-1/5...

Also so(vermutlich falsch):

x_(n) =1/2,1/4,1/6,1/8,... so wäre 1/2 Supremum von a_(n) und 1/4 von a_(n+1) etc.

y_(n) =-1,-1/3,-1/5,-1/7,...so wäre -1 Infimum von a_(n) und -1/3 von a_(n+1) etc.?


So wären beide Folgen monoton fallend und y_n konvergent, aber gilt das für jedes a_(k) ? Wenn ja, warum?

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*(Verbesserung) So wären beide Folgen monoton fallend und y_n konvergent, aber was ist mit x_n?

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Die Notation ist sehr komisch, ich verstehe aber was du mir sagen willst. Ja es ist falsch, aber geht wenigstens schon halbwegs in die richtige Richtung: Die Folge \(x_n\) hat die Folgeglieder:

\(x_1= \frac{1}{2} \\ x_ 2 = \frac{1}{2} \\ x_3 = \frac{1}{4} \\ x_4 = \frac{1}{4} \)

usw.

Nur eine der beiden Folgen ist monoton fallend!

Nein es gilt nicht für jede Folge \(a_n\) aber für beschränkte Folgen in R.

Um es mal platt auszudrücken: Wenn ich zu einer Menge ein Supremum habe und jetzt nehme ich eine handvoll Elemente aus der Menge raus und schmeiße sie weg, was gilt dann für das Supremum der übrigen Elemente? Auf diesem Prinzip lässt sich der Beweis bauen (analog der zum Infimum).

Answer 1

> aber über bspw. die Monotonie gibt es keine Aussage

Dann mach doch selbst eine Aussage über Monotonie. Zum Beispiel dass (x_n)_n∈ℕ monoton fallend und (y_n)_n∈ℕ monoton steigend ist.

Beweise diese zwei Aussagen und du bist fertig.