ist das eine abelsche Gruppe? Menge Q, Verknüpfung *: QXQ → Q. (a,b)↦a^2+2ab+b^2

Question

Weisen Sie nach, ob es sich bei der folgenden Menge mit Verknüpfung um eine Gruppe handelt.

Menge: Die Menge der rationalen Zahlen Q

Verknüpfung * : Q X Q → Q.  (a,b) ↦ a² + 2ab + b²

Mein Versuch

1. Abgeschlossenheit

Sei a,b € Q dann ist auch a² + 2ab + b² € Q

2. neutrales Element. Und hier geht's auch schon los. Ich weiß jetzt gar nicht wovon ich ein neutrales Element suchen soll. Wer kann helfen?

Answer 1

2. neutrales Element. Und hier geht's auch schon los. Ich weiß jetzt gar nicht wovon ich ein neutrales Element suchen soll. Wer kann helfen?

Du musst schauen, ob es ein n aus Q gibt mit  (a,n) = a  und  ( n,a) = a für alle a aus Q.

a² + 2an + n²  =  a 

( a + n ) ²  =  a

Dazu müsste n =  -a ± √a    sein, würde also von a abhängen.

Ein neutrales El. muss aber für alle a neutral sein, also

gibt es keins.

Comments

Ich muss doch noch einmal um Hilfe bitten.

Ich mag es gar nicht sagen, aber... ich weiß, wie ich einen solchen Beweis durchführen muss, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen usw. und ich kann das bei einfachen Sachen auch anwenden, aber ich glaube, ich habe insgesamt gar nicht verstanden, was ich da eigentlich mache.

Was ich dazu gelesen habe ist mir irgendwie zu abstrakt, ich kann mir darunter nichts vorstellen. Kannst du das eventuell in einfachen Worten erklären?

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Ich vermute, dass es immer erst mal das Problem ist die Verknüpfung

überhaupt zu verstehen.  Da würde ich immer mal erst ein paar konkrete

Fälle anschauen:

etwa  die Verknüpfung von 2 und 5 ( meist gibt es dafür auch ein Zeichen

hier war das ja  * )   also   2 * 5 = (nach eurer Definition)

 =   2² + 2*2*5 + 5²  = 49 

oder mal  2 * 0 = ...........  = 4oder 5 # 2 = .................... = 49  Aha, scheint kommutativ zu sein .

und dann mal  ( 2 * 5 )  * 3  =   49 * 3 = 2704  und zum Vergleich

   2 * (5   * 3 ) = 2 * ..............  = 2 * 64  = .......... = 4356

Also ist es schon mal nicht assoziativ.   Etc. 

Und dann erst mit den allgemeinen Beweisen beginnen.

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Also es gibt verschiedene Mengen, in unserem Fall die Menge A und die Menge B. Diese beiden Mengen sind irgndwie miteinander verknüpft und bilden dadurch eine Gruppe. Kann man das so sagen?

Was ist denn in unserem Fall die Verknüpfung? Das x aus Q x Q? Wozu dann die Formel am Ende (a² +2ab+ b²)? Dann müsste man doch einfach nur a*b rechnen??

Und mal ganz generell.... wenn wir beweisen, dass zwei Mengen eine Gruppe bilden, was dann? Was hat man davon zu wissen, dass es eine Gruppe ist?

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Also es gibt verschiedene Mengen, in unserem Fall die Menge A und die Menge B. Diese beiden Mengen sind irgndwie miteinander verknüpft und bilden dadurch eine Gruppe. Kann man das so sagen?

Nein, es gibt nur eine Menge ( hier Q )  und  für alle Paare von Elementen von Q

(Das sind die (a;b) aus QxQ ) wird die Verknüpfung definiert.   Dazu erfindet man meistens ein

zeichen   etwa  a#b   oder a~b  oder so, hier hat man a*b genommen. Das hat nichts mit der
normalen Multiplikation zu tun, sondern in diesem Zusammenhang bedeutet a*b eben 

(a² +2ab+ b²)also etwa    2 * 5 = 49

Und mal ganz generell.... wenn wir beweisen, dass eine Menge mit einer
Verknüpfung eine Gruppe bildet , was dann?

Dann hat man die Grundeigenschaften Abgeschlossenheit , Assoziativität , Existenz von neutralem


und inversen Elementen nachgewiesen.   Man hat davon, dass man nicht für jede Verknüpfung alle


Sachen einzeln überlegen muss.   Etwa ,  dass eine Gleichung der Art a*x=b  immer genau eine


Lösung hat.   Das beweist man einmal für alle Gruppen auf einmal .

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ah ok es wird langsam klarer, vielen Dank