Zeigen sie für alle n Element R und bestimmen sie die Summe der Reihe

Question

Zu Lösen sind die Folgenden Aufgabenteile

Answer 1

zeige den ersten Teil beispielsweise per vollständiger Induktion und verwende die geschlossene Form der Summe um den Grenzwert der Reihe zu bestimmen.

Gruß,

Answer 2

Den Beweis der Summenformel führt man am besten durch vollständige Induktion (s.u.). Die Summe der Reihe entsteht für n→∞ aus 2 -(n+2)/2ⁿ wobei (n+2)/2ⁿ  gegen Null geht und die Summe gleich 2 ist.

Beweis: Es ist zu zeigen, dass aus der Induktionsvoraussetzung ∑ⁿ_k=1(k/2^k)=2-(n+2)/2ⁿ die Induktionsbehauptung folgt ∑ⁿ⁺¹_k=1(k/2^k)=2-(n+1+2)/2ⁿ⁺¹ Dazu addieren wir auf beiden Seiten der Induktionsvoraussetzung (n+1)/2ⁿ⁺¹:

∑ⁿ⁺¹_k=1(k/2^k)=2-(n+2)/2ⁿ+(n+1)/2ⁿ⁺¹=2-(2n+4)/2ⁿ⁺¹+(n+1)/2ⁿ⁺¹=2-(2n+4-n-1)/2ⁿ⁺¹= 2-(n+1+2)/2ⁿ⁺¹