Steckbriefaufgabe. Polynomfunktion f(x) 3. Grades bestimmen. Geg: 2 Nullstellen und Steigung in W(0|0)

Question

Der Graph einer Polynomfunktion f(x) dritten Grades und er Graph der Funktion g(x)= x²-2x

haben zwei Schnittpunkte mit der X- Achse gemeinsam. Im Wendepunkt W(0/0) des Graphen der Funktion f steht dieser normal auf dem Graphen der Funktion g .

a.) Diskutiere die Funktion f(x)  und zeichne den Graph von f in [-2,5 ;2,5]

b.) Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die von beiden Graphen eingeschlossen wird.

Mein Problem ist ich weiß nicht wie ich mich zur Funktion hinrechne

Answer 1

Der Graph einer Polynomfunktion f(x) dritten Grades und der Graph der Funktion g(x)= x²-2x

haben zwei Schnittpunkte mit der X- Achse gemeinsam. Im Wendepunkt W(0/0) des Graphen der Funktion f steht dieser normal auf dem Graphen der Funktion g .

a.) Diskutiere die Funktion f(x)  und zeichne den Graph von f in [-2,5 ;2,5]

b.) Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die von beiden Graphen eingeschlossen wird.

Mein Problem ist ich weiß nicht wie ich mich zur Funktion hinrechne

Dazu verwendest du alle angaben, die du zur Funktion hast.

 

Der Graph einer Polynomfunktion f(x) dritten Grades

Höchste Potenz von x ist 3.

und er Graph der Funktion g(x)= x²-2x

haben zwei Schnittpunkte mit der X- Achse gemeinsam.

Berechne die Schnittstellen von g(x) mit der x-Achse: Es gibt genau 2 davon. 

Ich nenne sie mal x₁ und x₂

Benutze, dass sich Nullstellen aus der Funktion rausfaktorisieren lassen.

Daher Ansatz für f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)(x-k)

a und k sind nachher noch zu berechnen. 

Setze x₁ und x₂ ein und multipliziere alles richtig aus.

Im Wendepunkt W(0/0) des Graphen der Funktion f steht dieser normal auf dem Graphen der Funktion g .

1. Gleichung für dein Polynom.

f (0) = 0. Da W auf dem Graph von f.

2. Gleichung für dein Polynom: Steigung benutzen. f ' ( 0) = m.

Nun solltest du für m eine Zahl einsetzen.

Dazu berechnest du erst mal g' (0) = m_g.

Als Nächstes berechnest du m = -1/m_g

und setzt diese Zahl in f ' (0) = m ein.

Das ist deine 2. Gleichung mit den Unbekannten a und k.

3. Die beiden Gleichungen mit den Unbekannten a und k benutzen, um a und k zu berechnen.

Und Funktionsgleichung hinschreiben.

Mein Problem ist ich weiß nicht wie ich mich zur Funktion hinrechne

Comments

Danke für die Erklärung jetzt ist nur die Frage ob ich es so schaffe

eine polynomfunktion dritten Grades = ax³+ bx²+c

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mg= -2

g(x)= x²-2x

g*(x)= 2x-2

g**(x) =2

 

f(x)= ax³+bx²+c

f*(x)=3ax²+2bx

f**(x)=6ax+2b

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Danke für die Erklärung jetzt ist nur die Frage ob ich es so schaffe

eine polynomfunktion dritten Grades = ax³+ bx²+c

Achtung, wenn du nicht mit den Faktoren ansetzen willst, wie ich es dir vorgeschlagen habe, musst du 

y=ax^3 + bx^2 + cx + d  ansetzen (4 Unbekannte!)

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könntest du mir deine Variante zeigen ?

Answer 2

Du siehst die Symmetrie nicht   - weil es euch absolut niemand gesagt hat. Ich geh da viel globaler dran.
    Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. Du da ist nicht eine Spur von Individualität.
     Diktat für das Regelheft.

    " Alle Kurven 3. Grades verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP. "

    Du siehst die Symmetrie nicht mal, obwohl da steht


       ( x | y ) ( w ) = ( 0 | 0 )    ( 1 )


     Nun hat die Funktion g ( x ) die beiden Knoten


      x1 = 0 ; x2 = 2     ( 2a )


      Da steht nun ganz listig, f hat die selben Abszissebschnittpunkte. Nur - das musst du jetzt spiegeln:



      x3 = ( - 2 )   ( 2b )


      f ( x ) = k x  ( x + 2 ) ( x - 2 )    ( 3 )


     Und schon hast du alles raus. Ach ja; die Kurvendiskussion war ja noch gefordert. Was noch fehlt, sind die Extrema. Bitte keine Ableitungen; diktat für Spickzettel und Formelsammlung.
     eine Darstellung, bei der WP = Nullstelle, möge " natürliche Darstellung " ( ND ) des Polynoms heißen. In ND gilt eine feste Wurzel(3)Beziehung; d.h. die Knoten sind Wurzel ( 3 ) Mal so weit von dem WP entfernt wie die Extrema:


       x ( min ) = x3 / sqr ( 3 ) = 2 /  sqr ( 3 ) = ( 2/3 )  sqr ( 3 )  ( 4 )

Answer 3

! Ich habe hier noch eine etwas ausführlichere Lösung.

 

Answer 4

Der Graph einer Polynomfunktion f(x) dritten Grades und der Graph der Funktion \(g(x)= x^2-2x\) haben zwei Schnittpunkte mit der X- Achse gemeinsam. Im Wendepunkt \(W(0|0)\) des Graphen der Funktion f steht dieser normal auf dem Graphen der Funktion g .

Nullstellen von \(g(x)= x^2-2x\)

\(x₁= 0\)  ∨ \(x₂= 2\)

\(f(x)=a*x*(x-2)*(x-N)\)

Im Wendepunkt \(W(0|0)\) des Graphen der Funktion f steht dieser normal auf dem Graphen der Funktion g .:

\(g(x)= x^2-2x\)

\(g´(x)= 2x-2\)

\(g´(0)= -2\)   →\(f´(0)= \frac{1}{2}\)

\(f´(x)=a*[(x-2)*(x-N)+x*(x-N)+x*(x-2)]\)

\(f´(x)=a*[x^2-N*x-2*x+2*N+x^2-N*x+x^2-2x]\)

\(f´(0)=a*[2*N]=\frac{1}{2}\)  →  \(a=\frac{1}{4*N}\)

\(f´´(x)=\frac{1}{4*N}*[2x-N-2+2x-N+2x-2]\)

\(f´´(0)=\frac{1}{4*N}*[-N-2-N-2]\)       \(f´´(0)=\frac{1}{4*N}*[-2N-4]=0\)  → \(N=-2\)

\(a=\frac{1}{4*(-2)}\)     \(a=-\frac{1}{8}\)

\(f(x)=-\frac{1}{8}*x*(x-2)*(x+2)\)