Grenzwert der Folge y_(n+1) = 4* (3+y_(n))/(5 + y_(n)) bestimmen. Konvergenz folgern.

Question

Könnte jemand mir ausführlich erklärend Folge Aufgabe vorrechnen?

Answer 1

y_(n+1) = 4* (3+y_(n))/(5 + y_(n)) bestimmen. 

Wenn es einen Grenzwert y gibt, muss gelten

y = 4*(3+y)/(5+y)

y ( 5+y) = 4*(3+y)

5y + y^2 = 12 + 4y

y^2 + y - 12 = 0   | quadratische Gleichung! Formel oder faktorisieren.

(y-3)(y+4) = 0

y1 = 3, y2 = -4

Wegen Startwert +1 können keine neg. Folgenglieder vorkommen. Der Grenzwert sollte daher 3 sein.

Dass die Folge konvergiert ergibt sich aus den vorhergehenden Teilaufgaben: Eine nach der andern abarbeiten.

Comments

wie gehe ich bei i vor?

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Das kannst du in Worten erledigen.

(i) Der Startwert ist positiv.

Jedes weitere Folgenglied ist positiv, weil Addition, Multiplikation und Division von positiven Zahlen, wieder ein positives Resultat liefert.

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ok danke. Welche Zahl muss ich für yn einsetzen um den Startwert zu bekommen? und wie zeige ich dass sie monton wachsend ist?

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Berechne y_(n+1) - y_(n) (Bruchtermsubtraktion) und stelle fest, dass der Term grösser oder gleich 0 ist.

Schau mal in deine Unterlagen, da sollte "monoton wachsend" definiert sein.

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noch eine FRage wie komme ich auf yn

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Kannst du als yn in der Rechnung lassen. Du weisst schon yn>0.

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Also yn ist monoton wachsend, da yn< yn+1 ist. Würde dies als Begründung ausreichen? oder wie würdest du es für ii) formulieren?

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Das ist die Behauptung. Du musst das nachrechnen. Dann ist es ok.

y_n+1 =  4* (3+y_n)/(5 + y_n) ≥ y_(n)  ?   | - y_(n)         , üblicher ist ≥ . Aber 

y_(n+1) - y_(n) = 4* (3+y_n)/(5 + y_n) - y_(n)  ≥ 0  ? 

Jetzt den blauen Term vereinfachen. 

Ich komme allerdings zum Ergebnis, dass der blaue Term grösser als 0 ist, wenn -4 < yn < 3. 

Wir wissen schon, yn>0 und dass yn kleiner als 3 ist, sollst du in der nächsten Teilaufgabe zeigen. 

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wenn ich iii) löse habe ich dann nicht auch v) gelöst? Worin liegt der Unterschied der Lösungswege der Aufgaben?

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Der Grenzwert ist nur die 3. Den kannst du mit "=0" ausrechnen.

Answer 2

$$y_1=1,\ y_{n+1}=4\cdot\frac{3+y_n}{5+y_n}.$$(1)  Aus der Definition folgt unmittelbar, dass \(y_n\ge0\) für alle \(n\in\mathbb N\) ist.

(3)  Zeige per Induktion über \(n\), dass \(y_n\le3\) für alle \(n\) ist:
Die Aussage gilt offensichtlich für \(n=1\). Wenn die Aussage für ein \(n\) gilt, dann folgt$$y_{n+1}-3=4\cdot\frac{3+y_n}{5+y_n}-3=-\frac{3-y_n}{5+y_n}\le0\text{, also }y_{n+1}\le3.$$(2)  Nach (1) und (3) gilt für alle \(n\)$$y_{n+1}-y_n=4\cdot\frac{3+y_n}{5+y_n}-y_n=\frac{(4+y_n)(3-y_n)}{5+y_n}\ge0\text{, also }y_{n+1}\ge y_n.$$(4)  Nach (2) und (3) ist die Folge monoton steigend und nach oben beschränkt, also konvergent.

(5)  Der Grenzwert \(y\) der Folge berechnet sich aus (1) und$$y=\lim_{n\to\infty}y_n=\lim_{n\to\infty}y_{n+1}=\lim_{n\to\infty}4\cdot\frac{3+y_n}{5+y_n}=4\cdot\frac{3+y}{5+y}.$$Gruß

Comments

könntest Du mir zeigen, wie man (3) löst??

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Das macht man per Induktion:
Es ist \(y_1=1\le3\). Der Induktionsanfang ist damit gezeigt.
Im Induktionsschritt zeige, dass auch \(y_{n+1}\le3\) ist, wenn \(y_n\le3\) ist. Nach obiger Rechnung ist das der Fall.