Matrix Eigenwerte/Eigenvektoren bestimmen

Question

Matrix gegeben:

\( A:=\left(\begin{array}{ccc}2 & 5 & 7 \\ 0 & -2 & -10 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right) \)

Jetzt muss ich ermal die Eigenwerte bestimmen. Da das eine Dreiecksmatrix sind die Eigenwert einfach: 2, -2 und 3.

Die Eigenvektoren von A kann ich ja auch mit Hilfe dieser Formel berechnen: (A-\lambda E)v=0.

So was ist aber mit dieser Aufgabe: Bestimme alle Eigenwerte und Eigenvektoren von B mit B= A²-2A?

Ich denke mal, dass ich die Matrix B nicht ausrechnen muss, oder? Quadrieren sich die Eigenwerte, wenn die Matrix quadriert wird?

Answer 1

Hi,

Deine Vermutung bzgl den Eigenwerten ist korrekt. Die Quadrieren sich zum Beispiel im ersten Fall.

Man hat somit die Eigenwerte: 3^2-2*3=3, (-2)^2-2*(-2)=8,  und 2^2-2(2)=0.

 

Mit den Eigenvektoren ist mir diesbzgl nichts bekannt (Was nicht viel heißen soll :P).

Ich erlaubte mir schnell die Matrix zu errechnen und die zugehörigen Eigenvektoren zu bestimmen.

 

v₁=(-325,-72,3)

v₂=(15,8,0)

v₃=(1,0,0)

 

Grüße

Comments

Den spektralen Abbildungssatz für Polynome in Matrizen (also dass die Eigenwerte des Polynoms gerade durch Einsetzen der Eigenwerte von A ins Polynom entstehen) beweist man ja am besten so, dass man auch die Eigenvektoren erwischt: Sei v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, d.h. Av = λv. Was ist dann (A²-2A)v?