Folgen von Zahlen gleicher Quersumme

Question

Eine Folge von Zahlen gleicher Quersumme sei wie folgt definiert: a_m+1 entsteht aus a_m, indem die Ziffer mit dem höchsten Stellenwert gestrichen und in Einsen zerlegt zu den nachfolgenden Ziffern addiert wird. Reicht die Anzahl der Stellen von a_m nicht aus, werden Nullen angehängt. Die Folge läuft in jedem Falle in einen Zyklus hinein. Das Ende der Folge sei mit dem  letzen Glied vor dem Zyklus erreicht. Beginnend mit            a₁=Σ_i=1ⁿ (i·10^n-i) ergibt sich eine Anzahl Folgenglieder k(n), die von n abhängt. Welches Bildungsgesetz hat die Folge (k(n))_n∈ℕ?

Comments

Interessante Aufgabe. Gib doch mal ein paar Startwerte a₁ für unterschiedliche n an, so dass das Problem ein wenig anschaulicher wird!

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Was ist mit   dem  letzen Glied vor dem Zyklus   gemeint ?

Vielleicht mal an den Beispielen  n = 4  und  n = 2  erläutern.

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Was passiert, wenn eine der "nachfolgenden Ziffern" in einem Glied a_m eine 9 ist?

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Hallo Gast az0815, hallo gast hj2166, ich freue mich über Eure Rückfragen.

1. "Was passiert, wenn eine der "nachfolgenden Ziffern" eine 9 ist?" Das hatte ich nicht erwähnt: Dann muss man über der 9 eine Markierung anbringen, welche die 9 auf 10 erhöht, aber einstellig lässt. Der Quersumme wird dann die 10 zugerechnet. Weitere Additionen von 1 werden zu weiteren Markierungen.

2. Beispiele: n =2; Startzahl 12, Folge 12, 3, 111, 21, 21, ... Drei Glieder bevor die Folge zyklisch wird; k(2)=3

n=3; Startzahl 123; Folge 123, 33, 411, 2211, 321, 321, ... Vier Glieder bevor die Folge zyklisch wird; k(3)=4

n=4; Startzahl1234; Folge 1234, 334, 451, 6211, 322111, 33211, 4321, 4321, ... Sechs Glieder bevor die Folge zyklisch wird; k(4)=6

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Dann ist das doch (bis auf das erste Folgenglied) dieselbe Folge, die du hier schon hattest.

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Nicht schlecht, Herr Specht (hj2166). Diesmal werde ich nicht nach einem Beweis fragen, weil ich weiß, dass du auf Fragen nach Beweisen grundsätzlich nicht antwortest. Aber ich traue dir zu, die Beweise zu meinen letzten beiden Aufgaben irgendwo zu finden. Den Beweis zur Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks habe ich inzwischen selbst geführt.