Zu welcher Matrix Ai gibt es invertierbare Matrizen S und T so dass SAiT = ((1 0)(0 0))?

Question

 Komme leider bei Aufgabe 1  überhaupt nicht weiter:-(

Zu welcher Matrix Ai gibt es invertierbare Matrizen S und T so dass SAiT = ((1 0)(0 0)) ? 

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blatt 10.pdf (0,1 MB)

Kann jemand mir bei Aufgabe 1 weiterhelfen?

Answer 1

Es ist det(A1)=2  und wenn S und T invertierbar sind - also det ≠ 0 -  dann kann esmit A1 nicht gehen, da det ( SA1T) = det(S) *det(A1) * det(T) und Produkt dreier

Zahlen ungleich 0 ist auch ungleich 0,  aber

Det    von


1 0
0 0

ist 0.


Aber det(A2) = 0 , damit geht es.   z.B.:

1    1                 1    2                  0         1
-4   1        *        4   8          *      0,1      -0,5

Comments

wie kann man denn S und T bestimmen? sprich gibt es einen allgemeinen weg diese invertierbaren matrizen zu bestimmen bzw. wie hast du sie in diesem beispiel bestimmt? danke vorab

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Ich hab über  S A T = 1 0
                                   0 1   angefangen.

Dann muss ja  SA = (10 )  *  T^-1  sein.
                                  00Wenn du die rechte Seite ausrechnest, siehst du schon wie T^-1 aussehen könnte.Und dann die linke Seite anpassen.

Answer 2

S * A * T = E    ⇔   A = S^-1 * E * T^-1 ⇔  A  = S^-1 * T^-1  ⇔  A = (T * S)^-1  ⇔  A^-1 = T * S

Die Matrix A muss also invertierbar, ihre Determinante also ≠ 0 sein. Das trifft nur für A₁ zu.

Mit T = A₁^-1  und  S = E  sind also für A₁ zwei Matrizen mit der geforderten Eigenschaft gegeben.

Gruß Wolfgang