Integral (x-1)/(x^2+1) berechnen

Question

das Integral (x-1)/(x^2+1) soll berechnet werden.

Mein Absatz Substitution u = x^2+1

(x-1)/(x^2+1) dx 

(x-1)/(u) du/2x (Dann streicht sich das x)

1/2 (-1)/(u) du

-ln(u) --> -(ln(u))/2

Ist die Substitution und der Ansatz richtig?

Alternativ könnte man den Bruch aufteilen.

(x-1)/(x^2+1) = (-1)/(x^2+1) + (x)/(x^2+1)

Answer 1

Hier gibt es ein Problem mit dem Kürzen

"(x-1)/(u) du/2x (Dann streicht sich das x) 

1/2 (-1)/(u) du "

Richtiger wäre

" (x-1)/(u) du/(2x) (Dann streicht sich das x nicht ganz) 

1/2 (1-1/x)/(u) du "

Nun ist aber immer noch ein x im Integral. D.h. das bringt nicht so viel.

Answer 2

die Substitution hast du nicht richtig durchgeführt, das x kürzt sich nicht weil im Zähler (x-1) steht.

Den Bruch aufspalten ist richtig, jetzt kannst du bei dem zweiten Summanden deine Substitution anwenden da im Zähler nur noch x steht.

Der erste Summand ist die Ableitung des Arcustangens (ohne das -)

Answer 3

$$\int \frac{x-1}{x^2+1}dx=\int \frac{x}{x^2+1}dx-\int\frac{1}{x^2+1}dx$$

Um das erste Integral zu berechenn kannst du die Substitution machen:

$$u=x^2+1 \Rightarrow du=2xdx \Rightarrow \frac{1}{2}du=xdx$$

Also $$\int \frac{1}{x^2+1}xdx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{2}\ln |u|+c=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+c$$

Um das zweite Integral zu berechnen kann man folgendes machen:

Wir setzen $$x=\tan u$$ Dann haben wir $$dx=\frac{1}{\cos^2(u)}du$$

Wir haben also folgendes: $$\int\frac{1}{x^2+1}dx=\int\frac{1}{\tan(u)^2+1}\frac{1}{\cos^2(u)}du=\int\frac{1}{\frac{\sin^2(u)}{\cos^2(u)}+1}\frac{1}{\cos^2(u)}du=\int\frac{\cos^2 (u)}{\sin^2(u)+\cos^2(u)}\frac{1}{\cos^2(u)}du=\int 1 du=u+\tilde{c}=\tan^{-1}(x)+\tilde{c}$$

Wir haben also folgendes: $$\int \frac{x-1}{x^2+1}dx=\int \frac{x}{x^2+1}dx-\int\frac{1}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-\tan^{-1}(x)+C$$ wobei $$C=c-\tilde{c}$$