Ableitungen von f(x)=x*e^{1-x}

Question

Hallo :)

Wir sollen die Funktion f(x)=x*e^{1-x} auf Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Verhalten im Unendlichen untersuchen. Dafü brauche ich ja logischerweise die Ableitungen, aber welche sind das?

Im Ansatz brauche ich ja Produkt- und Kettenregel. Das bedeutet:

u=1x    u'=1    v=e^{1-x}    v'=e^{1-x}*(-1)    [was ja das gleiche ist wie v'=-e^{1-x}]

Nach der Formel u'v+v'u komme ich dann auf folgendes:

u'v+v'u = 1*(e^{1-x}*(-1))+(e^{1-x}*(-1))*1x = e^{1-x}*(-1)+x*e^{1-x}*(-1)

Kommt das so hin? Ich habe das Gefühl, das die Ableitung von e^{1-x} nicht ganz korrekt ist...

Answer 1

u'v+v'u = 1*e^{1-x} + e^{1-x}*(-1)

wäre richtig gewesen. Du hast die Regel nicht so, wie du sie notiert hast, verwendet.

PS: Hier noch zur Verdeutlichung die Unterschiede in rot markiert:

u'v+v'u = 1*(e^{1-x}*(-1)) + (e^{1-x}*(-1))*1x

PPS: Jetzt habe ich selbst einen Fehler eingebaut... hier die richtige Version:


u'v+v'u = 1*e^{1-x} + e^{1-x}*(-1)*x

u'v+v'u = 1*(e^{1-x}*(-1)) + (e^{1-x}*(-1))*1x

Answer 2

Vergleiche im Zweifelsfall mit :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)%3Dx*e%5E(1-x)

Vergleich mit deinem

f'(x) = e^1-x*(-1)+x*e^1-x*(-1) = (-1 -x)*e^{1-x} = -(1+x)*e^{1-x} 

Grund wohl hier:

f'(x) =  e^1-x+x*e^1-x*(-1)

Comments

Wie komme ich dann auf die Variante von Roland?

Er hat ja geschrieben f'(x)=(1-x)*e^{1-x}, welches Gesetz ist dafür nötig?

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Du hast

f '(x) =  e^1-x+x*e^1-x*(-1)

=  1* e^1-x -x*e^1-x

=  (1-x)* e^1-x  | Wenn du unbedingt noch willst

= - (x-1)* e^1-x  | Stimmt mit der Antwort von Wolframalpha überein und sollte stimmen. 

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Okay, wenn ich dann weiterrechne und wieder die u'v+v'u-Formel verwende, um auf die 2. Ableitung zu kommen, erhalte ich das:

-(x-1)*e^{1-x}

u=-(x-1)    u'=-1    v=e^{1-x}    v'=e^{1-x}*(-1)

Die daraus entstehende Gleichung lautet: f''(x)=(-1)*e^{1-x}+e^{1-x}*(-1)*(-1)

(-1)*(-1)=1, demnach fällt das weg und es bleibt nur noch (-1)*e^{1-x}+e^{1-x}

So richtig?

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Kontrolliere alles mit Wolframalpha. - Auch deine Zwischenschritte. Wenn dort etwas anderes rauskommt als bei deiner Rechnung, melde dich nochmals.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-e%5E(1+-+x)+(-1+%2B+x)&lk=1&rawformassumption=%22ClashPrefs%22+-%3E+%7B%22Math%22%7D

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Die zweite Hälfte deine zweiten Ableitung stimmt nicht. Da in der zweiten Hälfte ja der term -(x-1) nicht abgeleitet wird, sondern die e Funktion, muss der Term -(x-1) in der ableitung ja vorkommen. Tut er bei dir aber nicht.

Answer 3

u'v+v'u = 1*(e^1-x*(-1))+(e^1-x*(-1))*1x An die rot gekennzeichnete Stelle gehört doch u' (nämlich 1). Die grüne 1 ist entbehrlich. Insgesamt ergibt sich f '(x)=(1-x)·e^1-x.