Untervektorraum, Euklidisches Skalarprodukt entscheiden (iv), (v), (vi)

Question

Ich soll kurz entscheiden, ob die Aussagen wahr oder falsch sind mit einer kurzen Begründung.

Ich habe aber keinen blassen Schimmer:

Comments

Ist mit der Norm || . || einfach der Betrag der Vektoren gemeint? 

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Genauso ist es.

Answer 1

(iv) U ist nicht immer ein  Untervektorraum von R^3 . Gegenbeispiel: Für a = 1, enthält U den Nullvektor nicht.

(v) < v-w, v+w> = < v,v+w> - <w,v+w>

= <v,v> + <v,w> - <w,v> - <w,w>

= <v,v> + <v,w> - <v,w> - <w,w>

= <v,v>  - <w,w>

= ||v||^2 - ||w||^2

stimmt.

(vi) ||v-w|| = <v-w,v-w>

= <v,v> - <w,v> - <v,w> + <w,w>

= <v,v> - <w,v> - <w,v> + <w,w>      | da v senkrecht auf w

= ||v||^2 - 0 - 0 + ||w||^2

= ||v||^2  + ||w||^2 

stimmt.

(ohne Gewähr!)

Answer 2

i) stimmt nicht, weil wegen der Abgeschlossenheit der Multiplikation auch 0*x=(0,0,0) enthalten sein muss, aber dies für a≠0 nicht der Fall ist.

ii)<v-w,v+w>=<v-w,v>+<v-w,w>

=<v,v>-<w,v>+<v,w>-<w,w>

=||v||^2+||w||^2

iii) ||v-w||^2=<v-w,v-w>=

<v,v>+<w,w>-2<v,w>

=||v||^2+||w||^2

(Kosinussatz)