Euklidisches Skalarprodukt, Lineare Abbildung

Question

Aufgabe:

Sei \( \langle\cdot, \cdot\rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{R} \) ein euklidisches Skalarprodukt und sei \( \vec{u}_{0} \in V \) beliebig, aber fest gewählt. Überprüfen Sie, ob die Abbildung
$$ L: V \rightarrow \mathbb{R}, \quad \vec{u} \mapsto\left\langle\vec{u}_{0}, \vec{u}\right\rangle $$
linear ist.
Hinweis: Verwenden Sie ausschließlich die Eigenschaften eines Skalarproduktes.

Problem/Ansatz:

Um ehrlich zu sein, verstehe ich die Aufgabe nicht. Ich verstehe nicht ganz wie man die Kriterien für Linearität hier auf die Abbildung anwenden soll und was \( \vec{u}_{0} \in V \) sein soll.

danke für eure hilfe!

Answer 1

Die ist linear, das folgt aus der Bilinearität des Skalarproduktes,

hier wird die Linearität im 2. Argument benutzt, also

L(v+u) = < uo.v+u> = <uo,v) + <uo,u> = L(v) + L(u)

und entsprechend L(x*v) = x*L(v) herleiten.