Lineare Algebra, Linear kombinieren, Basis

Question

Man nennt eine (3×3)−Matrix

\( \begin{pmatrix} x1 & x2 & x3 \\ x4 & x5 & x6 \\ x7 & x8 & x9 \end{pmatrix} \)

ein "magisches Quadrat“, wenn alle Zeilensummen, alle Spaltensummen und die beiden Diagonalsummen (x1 + x5 + x9 und x3 + x5 + x7) übereinstimmen.

(i) Zeigen Sie, dass sich das sogenannte Lo-Shu-Quadrat (aus China, ca. 2800 v. Chr.)

L = \( \begin{pmatrix} 2 & 7 & 6 \\ 9 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & 8 \end{pmatrix} \)  

aus den Matrizen M1 = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) , M2 = \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \) uns M3 = \( \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)  linear kombinieren lässt.

(ii) Zeigen Sie, dass B ={M1,M2,M3} eine Basis des Vektorraums MQ3×3 der magischen (3×3)−Quadrate ist. (Hinweis: Sie müssen nicht beweisen, dass MQ3×3 ein Vektorraum ist. Sie dürfen außerdem ohne Beweis verwenden, dass dimMQ3×3 = 3 ist.)

Answer 1

Hallo,

(i) ist einfach zu zeigen, man rechne $$5M_1 -3M_2 + M_3 = L$$die Koeffizienten \(5\), \(-3\) und \(1\) kann man bestimmen, indem man z.B. aus der ersten Spalte jeder der vier Matrizen ein Gleichungssystem zusammen stellt. Sei die Funktion \(s(M_i)\) die erste Spalte der Matrix \(M_i\), dann ist $$s(M_1) \cdot a + s(M_2)\cdot b + s(M_3) \cdot c = s(L)$$ man kann die Lösung aber auch 'sehen'. Aus dem mittleren Element \(x_5\) folgt, dass \(a=5\) sein muss und aus dem ersten Elemen \(x_1\) folgt anschließend \(5 +b = 2\), d.h. \(b=-3\) und \(c\) ist dann auch kein Problem mehr.

zu (ii) zunächst einmal ist jede Matrix für sich alleine ein magisches Quadrat und folglich ist das auch jede Linearkombination. Und da man schon annehmen darf, dass \(\dim MQ3\times3 = 3\) ist, muss nur noch die lineare Unabhängigkeit der Matrizen untereinander gezeigt werden. Und die sind schon deshlab linear unabhängig, weil \(M_2\) und \(M_3\) an einigen Stellen 0'en enthalten, wo die beiden anderen Matrizen keine 0 haben. Damit sollte das eigentlich schon erledigt sein.

Gruß Werner

Answer 2

Für die erste Zeile der Matrix gilt

r·[1, 1, 1] + s·[1, -1, 0] + t·[0, -1, 1] = [2, 7, 6] --> r = 5 ∧ s = -3 ∧ t = 1

Probier jetzt ob 5·M1 - 3·M2 + M3 = L gilt.

Answer 3

Zeigen Sie, dass sich das sogenannte Lo-Shu-Quadrat L ... aus den Matrizen M1 ..., M2 ... uns M3 ...  linear kombinieren lässt.

Zeige, dass die Gleichung

        L = a·M1 + b·M2 + c·M3

eine Lösung für a, b, c mit a, b, c ∈ ℝ hat.

(ii) Zeigen Sie, dass B ={M1,M2,M3} eine Basis des Vektorraums MQ3×3 der magischen (3×3)−Quadrate ist.

Zeige, dass B linear unabhängig ist.