Gegeben ist der Vektorraum der reellen \( 2 x 2 \)-Diagonalmatrizen
\( V:=\left\{\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & b \end{array}\right] \mid a, b \in \mathbb{R}\right\} \)
eine lineare Abbildung \( L: V \rightarrow V \) und die darstellende Matrix \( L_{\mathscr{B}} \) bezüglich einer Basis \( \mathscr{B}=\left\{B_{1}, \ldots, B_{n}\right\} . \)
\( L \) und \( L_{\mathscr{B}} \) sind im Aufgabenteil des Applets konkret gegeben.
Geben Sie die Anzahl \( n \) der Elemente in der Basis \( B \) an und bestimmen Sie anschließend \( K_{\mathscr{B}}\left(B_{i}\right), L_{\mathscr{B}}\left(K_{\mathscr{B}}\left(B_{i}\right)\right) \) sowie \( K_{\mathscr{B}}^{-1}\left(L_{\mathscr{B}}\left(K_{\mathscr{B}}\left(B_{i}\right)\right)\right) \) als Linearkombination der
Basiselemente für alle \( B_{i}(i=1, \ldots, n) \).
Bestimmen Sie eine Basis \( \mathscr{B} \), sodass \( L_{\mathscr{B}} \) die darstellende Matrix von \( L \) bzgl. \( \mathscr{B} \) ist.
(Hinweis: \( \mathscr{B} \) ist nicht unbedingt eindeutig. D.h., es gibt unter Umständen mehr als eine mögliche Lösung.)
Darstellende Matrix, Lineare Abbildung und Basis
\( \left[\begin{array}{ll} \mathrm{V} & \rightarrow \mathrm{V} \\ {\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & b \end{array}\right]} & \mapsto\left[\begin{array}{cc} a-b & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{array}\right. \)
Die darstellende Matrix von \( \mathrm{L} \) bezüglich einer Basis \( \mathcal{B} \) sei: \( L_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right] \)
Anzahl \( \mathrm{n} \) der Elemente in der Basis \( \mathcal{B}: n=0 \quad \mathcal{B}=\{\} \)
