Konvergenz von Reihen: ist ∑ 1/ n^{1+1/n} ( n=1 bis unendlich ) konvergent?

Question

Es sind gegeben: zwei reelle folgen a_n und b_n mit b_n>0 für alle n aus den natürlichen zahlen und lim a_n/b_n = c≠0 ( für n gegen unendlich). İch soll zeigen, dass ∑ a_n ( n=1 bis ∞) genau dann konvergiert, wenn ∑ b_n ( n=1 bis ∞) konvergiert.

ist ∑ 1/ n^1+1/n  ( n=1 bis unendlich ) konvergent ?

Hoffe das ihr mir helfen könnt ;)

Answer 1

Da \( \frac{a_n}{b_n}\) gegen c konvergiert gibt es natürliche N und M so, dass für alle n größer als N bzw. M gilt: \( \frac{a_n}{b_n} <2c\) bzw. \( \frac{a_n}{b_n} >\frac{c}{2}\) . Damit ist \( \sum_{n=N+1}^\infty a_n < 2c \sum_{n=N+1}^\infty b_n\), das zeigt die Rückrichtung. Die hinrichtung folgt mit der Ungleichung für M.Für die Zusatzfrage bietet sich \( b_n=n \) an.