Antwort mit KI erzeugt
Gegebene Aufgabe und initiales Verständnis
Gegeben ist der Vektorraum \(V\), welcher aus den reellen \(2 \times 2\)-Diagonalmatrizen besteht, definiert durch:
\( V = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\} \)
Eine lineare Abbildung \( L: V \to V \) wird definiert durch:
\( L \left( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} a - 2b & 0 \\ 0 & 3b \end{pmatrix} \)
Die darstellende Matrix \( L_\mathcal{B} \) bezogen auf eine Basis \(\mathcal{B} = \{ B_1, B_2 \} \) ist gegeben durch:
\(
L_\mathcal{B} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\)
Anzahl der Elemente in der Basis
Der Vektorraum \(V\) der \(2 \times 2\)-Diagonalmatrizen ist ein Vektorraum der Dimension 2, weil er durch zwei Freiheitsgrade spezifiziert wird (die Diagonelelemente \(a\) und \(b\)). Daher hat die Basis \(\mathcal{B}\) zwei Elemente, also \( n = 2 \).
Bestimmung der Basis
Wir suchen eine Basis \(\mathcal{B} \), sodass die Matrixdarstellung von \( L \) bezüglich \(\mathcal{B} \) gleich der gegebenen Matrix \( L_\mathcal{B} \) ist. Wir können folgenden Ansatz wählen:
1. Wählen Sie zwei Basisvektoren \( B_1 \) und \( B_2 \) aus \(V\).
2. Stellen Sie die Wirkung von \( L \) auf diese Basisvektoren als Linearkombination der Basisvektoren dar.
3. Konstruieren Sie die darstellende Matrix \( L_\mathcal{B} \) und setzen Sie sie gleich der gegebenen Matrix.
Nehmen wir an:
\( B_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Überprüfung der gewählten Basis
Wir müssen überprüfen, ob \( L \) die gewählte Basis in eine Linearkombination der Basiselemente umwandelt, sodass die darstellende Matrix \( L_\mathcal{B} \) korrekt ist.
1. Berechnung von \( L(B_1) \):
\( L(B_1) = L \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 - 2 \cdot 0 & 0 \\ 0 & 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot B_1 + 0 \cdot B_2 \)
Dies entspricht der ersten Spalte der Matrix \( L_\mathcal{B} \).
2. Berechnung von \( L(B_2) \):
\( L(B_2) = L \left( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 - 2 \cdot 1 & 0 \\ 0 & 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = -2 \cdot B_1 + 3 \cdot B_2 \)
Dies entspricht der zweiten Spalte der Matrix \( L_\mathcal{B} \).
Damit erhalten wir:
\(
L(B_1) = B_1, \quad L(B_2) = -2B_1 + 3B_2
\)
Diese Basis \(\mathcal{B} = \left\{ B_1, B_2 \right\} \) erfüllt die Anforderungen, da die darstellende Matrix \( L_\mathcal{B} \) für \( L \) wie gegeben aussieht.
Zusammenfassung der Ergebnisse
- Die Anzahl \( n \) der Basisvektoren ist 2.
- Die Basis \(\mathcal{B} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} \) ist eine geeignete Basis für den Vektorraum der \(2 \times 2\)-Diagonalmatrizen, sodass die Matrixdarstellung von \( L \) bezüglich dieser Basis wie gewünscht \( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) ist.
