Vektorraum der reellen 2x2-Diagonalmatrizen,... Suche eine Basis sodass Lℬ die darstellende Matrix von L bzgl. ℬ ist.

Question

Gegeben ist der Vektorraum der reellen 2x2-Diagonalmatrizen

V:=   {[  a  0

             0   b ]    ∣a,b∈R},

eine lineare Abbildung L:V→V und

L:   V     --->     V

(  a    0         →      ( a-2b    0

   0    b )                        0        3b )

die darstellende Matrix Lℬ bezüglich einer Basis ℬ={B1,...,Bn}.

LB =     ( 3     2

                0     1 )

L und Lℬ sind im Aufgabenteil des Applets konkret gegeben.

Geben Sie die Anzahl n der Elemente in der Basis B an und bestimmen Sie anschließend
Kℬ(Bi), Lℬ(Kℬ(Bi)) sowie K^{−1}ℬ(Lℬ(Kℬ(Bi))) als Linearkombination der
Basiselemente für alle Bi (i=1,...,n) .

Bestimmen Sie eine Basis ℬ, sodass Lℬ die darstellende Matrix von L bzgl. ℬ ist.

(Hinweis: ℬ ist nicht unbedingt eindeutig. D.h., es gibt unter Umständen mehr als eine mögliche Lösung.)

Ich wäre für jegliche Hilfe sehr dankbar.

Comments

Bei K dürfte es sich um die hier https://www.mathelounge.de/73458/bestimmen-koordinatenvektor-darstel… definierte Koordinatenabbildung handeln.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Gegebene Aufgabe und initiales Verständnis

Gegeben ist der Vektorraum $V$, welcher aus den reellen $2 \times 2$-Diagonalmatrizen besteht, definiert durch:
$V = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}$

Eine lineare Abbildung $L: V \to V$ wird definiert durch:
$L \left( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} a - 2b & 0 \\ 0 & 3b \end{pmatrix}$

Die darstellende Matrix $L_\mathcal{B}$ bezogen auf eine Basis $\mathcal{B} = \{ B_1, B_2 \}$ ist gegeben durch:
$L_\mathcal{B} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Anzahl der Elemente in der Basis

Der Vektorraum $V$ der $2 \times 2$-Diagonalmatrizen ist ein Vektorraum der Dimension 2, weil er durch zwei Freiheitsgrade spezifiziert wird (die Diagonelelemente $a$ und $b$). Daher hat die Basis $\mathcal{B}$ zwei Elemente, also $n = 2$.

Bestimmung der Basis

Wir suchen eine Basis $\mathcal{B}$, sodass die Matrixdarstellung von $L$ bezüglich $\mathcal{B}$ gleich der gegebenen Matrix $L_\mathcal{B}$ ist. Wir können folgenden Ansatz wählen:

1. Wählen Sie zwei Basisvektoren $B_1$ und $B_2$ aus $V$.
2. Stellen Sie die Wirkung von $L$ auf diese Basisvektoren als Linearkombination der Basisvektoren dar.
3. Konstruieren Sie die darstellende Matrix $L_\mathcal{B}$ und setzen Sie sie gleich der gegebenen Matrix.

Nehmen wir an:
$B_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Überprüfung der gewählten Basis

Wir müssen überprüfen, ob $L$ die gewählte Basis in eine Linearkombination der Basiselemente umwandelt, sodass die darstellende Matrix $L_\mathcal{B}$ korrekt ist.

1. Berechnung von $L(B_1)$:
$L(B_1) = L \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 - 2 \cdot 0 & 0 \\ 0 & 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot B_1 + 0 \cdot B_2$
Dies entspricht der ersten Spalte der Matrix $L_\mathcal{B}$.

2. Berechnung von $L(B_2)$:
$L(B_2) = L \left( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 - 2 \cdot 1 & 0 \\ 0 & 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = -2 \cdot B_1 + 3 \cdot B_2$
Dies entspricht der zweiten Spalte der Matrix $L_\mathcal{B}$.

Damit erhalten wir:
$L(B_1) = B_1, \quad L(B_2) = -2B_1 + 3B_2$

Diese Basis $\mathcal{B} = \left\{ B_1, B_2 \right\}$ erfüllt die Anforderungen, da die darstellende Matrix $L_\mathcal{B}$ für $L$ wie gegeben aussieht.

Zusammenfassung der Ergebnisse

- Die Anzahl $n$ der Basisvektoren ist 2.
- Die Basis $\mathcal{B} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$ ist eine geeignete Basis für den Vektorraum der $2 \times 2$-Diagonalmatrizen, sodass die Matrixdarstellung von $L$ bezüglich dieser Basis wie gewünscht $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ist.