Darstellende Matrix von s bzgl. Basis B

Question

Habe folgende Aufgabe:

Sei V=ℝ² und sei s eine symmetrische Bilinearform auf V. Sei q:V →ℝ die zu s gehörige quadratische Form. Für alle x, y ∈ ℝ gelte 

q \( \begin{pmatrix} x\\y\\ \end{pmatrix} \) = x² + 3xy + y² 

Bestimmen Sie die darstellende Matrix von s bezüglich der geordneten Basis B={ \( \begin{pmatrix} 2\\1\\ \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} -1\\2\\ \end{pmatrix} \) }

Hatten kein Beispiel in der Form in der Vorlesung an dem ich mich hätte orientieren können, also hab ich etwas rumprobiert. Habe dann instinktiv einfach die Vektoren aus B nacheinander in q eingesetzt. Habe dann zwei Zahlen rausbekommen. Einmal 11 und einmal -1. 

Meine Frage: Was sagt mir das jetzt ? 

Answer 1

Erst mal das q bezüglich kanonischer Basis darstellen, gibt
mit der Matrix M =
1     1,5
1,5    1
die Darstellung
q( (x;y)^T ) =  (x;y) * M * (x;y)^T 

Damit das sich auf die Basis B bezieht, musst du noch den
Basiswechsel berüchsichtigen, dazu nimmst du am besten
die Matrix S
2  -1
1   2
die den Wechsel von  den B - koordinaten zu denen der
kanonischen Basis beschreibt.
Und die gesuchte Matrix sieht dann so aus
S ^-1 * M * S =
2,2   0,9
0,9   -0,2

Comments

Ich verstehe nicht, wie du auf die ganzen Zahlen gekommen bist

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In dem S stehen die Zahlen von den Basisvektoren und

dann musst du S ^-1 ausrechnen.

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Das hab ich verstanden. Ich meinte die ersten Zahlen:

1     1,5 

1,5    1

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bei so einer quadratischen Form stehen in der Diagonale immer

die Koeffizienten von x^2 und y^2 und an den anderen Stellen die

Hälfte des Koeffizienten von xy.