Schreiben Sie die Standardbasisvektoren als Linearkombinationen Ihrer Basis

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die drei Vektoren

v₁=\( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \) , v₂=\( \begin{pmatrix} 1\\2\\-1\\4 \end{pmatrix} \) , v₃=\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\1 \end{pmatrix} \) ∈ℝ⁴

a) Finden Sie einen Vektor v₄ ∈ ℝ⁴ so, dass (v₁, v₂, v₃, v₄) eine Basis von ℝ⁴ ist.

b) Schreiben Sie die Standardbasisvektoren e₁, . . . , e₄ ∈ ℝ⁴ als Linearkombinationen Ihrer Basis aus a).

Problem/Ansatz:

kann wer helfen? bin verloren

Answer 1

a) Du suchst einen Vektor der linear unabhängig zu den anderen 3 ist.

z.B.

$$\left(\begin{array}{cc}1\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$$

Um dies zu überprüfen löst du das LGS

$$\left(\begin{array}{cc}  1 &1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0\\0 &-1&1&0\\0&4&1&0 \end{array}\right)$$

Ist es eindeutig lösbar sind die 4 Vektoren linear unabhängig und damit eine Basis des R^4.

b) Löse das LGS

$$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 &1 & 1 & 1&1 \\ 1 & 2 & 0 & 0&0\\0 &-1&1&0&0\\0&4&1&0&0 \end{array}\right)$$

mit allen 4 Standardbasisvektoren. Die Lösungen sind die Koeffizienten des entsprechenden Vektors. Also für das LGS oben wären es ja x1=0, x2=0, x3=0, x4=1. d.h.

$$0v_1+0v_2+0v_3+1v_4=e_1$$

LG