Stellen sie die Standardbasisvektoren als Linearkombination dar.

Question

Also Aufgabenteil a) hab ich gelöst und bei b)i gab es auch keine Probleme, aber weiss nicht wie ich jetzt die anderen lösen kann?!

Jemand eine Idee, was ich da nicht sehe?

  Aufgabe
(a) Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen linear sind (Beweis bzw. Gegenbeispiel):
$$ \begin{array}{l} {\text { (i) } f_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f_{1}\left(\left[\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} {x-y} \\ {1+y} \end{array}\right]} \\ {\text { (ii) } f_{2}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f_{2}\left(\left[\begin{array}{c} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} {x-y} \\ {x-y} \end{array}\right]} \end{array} $$
(b) Von einer linearen Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) ist Folgendes bekannt:
\( \varphi\left(\left[\begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r}{1} \\ {0} \\ {-2}\end{array}\right] \) und \( \varphi\left(\left[\begin{array}{l}{1} \\ {2}\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r}{0} \\ {1} \\ {-1}\end{array}\right] \)
(i) Stellen Sie die Standardbasisvektoren \( \left[\begin{array}{c}{1} \\ {0}\end{array}\right] \) und \( \left[\begin{array}{l}{0} \\ {1}\end{array}\right] \) als Linearkombinationen von
$$ \left[\begin{array}{l} {1} \\ {1} \end{array}\right] \text { und }\left[\begin{array}{l} {1} \\ {2} \end{array}\right] \text { dar. } $$
(ii) Berechnen Sie mit Hilfe Ihrer Ergebnisse aus Teil (i) \( \varphi\left(\left[\begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right]\right) \) und \( \varphi\left(\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1}\end{array}\right]\right) \)

(iii) Berechnen Sie \( \varphi\left(\left[\begin{array}{l}{5} \\ {7}\end{array}\right]\right) \)
(iv) Wie lautet die Abbildungschrift der linearen Funktion \( \varphi \) für einen beliebigen Vektor
$$ \left[\begin{array}{l} {x} \\ {y} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2} ? $$

Answer 1

Du hast
1 =a*1 +b*1
0 =a*1 + b*2

a ist das Skalar,mit dem du den ersten Vektor multipliziert und b das Skalar, mit dem du den zweiten mulziplizierst.

Reicht das?

Comments

Entschuldige, aber steh immer noch auf dem Schlauch.....

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Du hast doch da ein Gleichungssystem gegeben. Sowas kannst du nicht auflösen?

Was weißt du denn sonst zur Linearkombination?

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Ja doch das schon, mir ist jetzt nur nicht klar, wie du das aufgestellt hast und wie ich damit Aufgabenteil ii) lösen kann? Ist das der erste Basiseinheitsvektor, welchen du als Linearkombination darstellen möchtest?

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Ja genau. Das habe ich gemacht.

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Ja das hab ich auch gemacht. Dann gelöst und als Linearkombination dargestellt, dass selbe hab ich mit dem anderen Basiseinheitsvektor gemacht. Aber ich weiss nicht,mwie ich dadurch die anderen Aufgaben lösen kann zum Beispiel (ii)?!

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Deine Abbildung ist linear.

Also gilt :
f(ax) = a*f(x)

und für ii) wendest du die 2. Eigenschaft einer linearen Abbildung an,die du mit der ersten kombinierst:

f(x+y) = f(x)+f(y)

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Ich mach das morgen, ich blicks immer noch nicht. Vielen Dank für Deine Hilfe und Geduld!

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Okay dann nochmal fix ein Tipp:
(1 , 0 ) hast du ja bestimmt dargestellt mit 2*(1  , 1 )  -1(1,  2 )

Jetzt kannst du sagen :

f(1, 0 )  = f(2*(1, 1)  - 1(1 ,2 )  ) = f(2*1,1) - f(1,2) = 2*f(1,1) - f(1,2)

Tadaa.

Das kannst du ja berechnen.

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Ja genau[1,0]=2*[1,1]-[1,2] und  [0,1]=-[1,1]+[1,2]

Jetzt soll ich ja bei (b)ii mit Hilfe dieser Ergebnisse

Phi([1,0]) und Phi([0,1]) berechnen. Ist das dann [2,-1,-3]?

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Ja. Genau.

Jetzt mach das auch für den zweiten Basisvektor bei ii)

bei iii) kannst du dir nach dem selben Prinzip das Ergebnis berechnen,indem du ii) zur Hilfe nimmst .

Und bei iv) Stelle (x,y) als Linearkombination der Basisvektoren da und wende das selbe Prinzip nochmal an.

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Ja hat hat es klick gemacht, ich danke Dir!!!