Aufgabe:
Gegeben seien drei Basen B, C,D von R2 sowie ein Vektor v ∈ R2:
B = { b1 = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) , b2 = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)}
C = { c1 = \( \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \) , c2 = \( \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \)}
D = { d1 = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) , d2 = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)}
v =\( \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \)
Sei f : R2 −→ R2 die linear Abbildung gegeben durch f(c1) = d1, f(c2) = d2.
(a) Stellen Sie b1 als Linearkombination bezüglich der Basis C dar.
(b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix TB C von der Identitätsabbildung id: R2 → R2
bezüglich die Basen B in Urbild und C in Bild, sowie die darstellende Matrix TC B
von id: R2 → R2 bezüglich die Basen C in Urbild und B in Bild.
(Bemerkung: die Matrix TBC heißt die Basiswechselmatrix für die Basiswechsel von B nach C.)
(c) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor vB von v bezüglich die Basis B.
(d) Bestimmen Sie die Koordinatenvektor vC mit Hilfe der darstellende Matrix TBC .
(e) Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix TDB für die Basiswechsel von B nach D.
(f) Berechnen Sie den Koordinatenvektor f(b1)C von f(b1) bezüglich die Basis C.
(g) Bestimmen Sie die darstellende Matrix fBC von f bezüglich die Basen B und C.
(h) Berechnen Sie fDB mit Hilfe der Ergebnisse von (b), (e) und (g).
