Zeige: u,v,w bilden Basis des R^3 und Linearkombinationen. u=(1,1,1), v=(2,-1,1), w=(1,2,3)

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren \( \overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 1\end{array}\right) \) und \( \overrightarrow{\mathrm{w}}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \)

a) Weise nach, dass \( \vec{u}, \vec{v} \) und \( \vec{w} \) Basisvektoren des \( \mathbb{R}^{3} \) sind.

b) Stelle folgende Vektoren als Linearkombination von \( \vec{u}, \vec{v} \) und \( \vec{w} \) dar:

\( \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 5 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) \)

Answer 1

Du nimmst den ersten und schreibst
1
-2    =    a*u  +  b*v   +  c*w
5

Dann hast du drei Gleichungen mit a,b,c . Die rechnest

du aus und dann ist   a*u  +  b*v   +  c*w die gesuchte Darstellung

des ersten. Dann das gleiche mit dem zweiten etc.

Answer 2

Ich lose das LGS gleich mehrfach für alle Vektoren gleichzeitig. Daher stehen in der Matrix so viele Spalten.

[1, 2, 1, 1, 1, 0, -1]
[1, -1, 2, -2, 0, 1, 3]
[1, 1, 3, 5, 1, 2, 6]

II - I ; III - I

[1, 2, 1, 1, 1, 0, -1]
[0, -3, 1, -3, -1, 1, 4]
[0, -1, 2, 4, 0, 2, 7]

3*III - II

[1, 2, 1, 1, 1, 0, -1]
[0, -3, 1, -3, -1, 1, 4]
[0, 0, 5, 15, 1, 5, 17]

5*I - III ; 5*II - III

[5, 10, 0, -10, 4, -5, -22]
[0, -15, 0, -30, -6, 0, 3]
[0, 0, 5, 15, 1, 5, 17]

3*I + 2*II

[15, 0, 0, -90, 0, -15, -60]
[0, -15, 0, -30, -6, 0, 3]
[0, 0, 5, 15, 1, 5, 17]

Normieren

[1, 0, 0, -6, 0, -1, -4]
[0, 1, 0, 2, 0.4, 0, -0.2]
[0, 0, 1, 3, 0.2, 1, 3.4]