Im ℝ3 seien die drei Vektoren v1 = (1,2,4), v2 = (1,0,−1) und v3 = (0,1,2) gegeben.
(a) Zeigen Sie: (v1 , v2 , v3 ) ist eine Basis des R3 . Stellen Sie den Vektor (1, 1, 3) ∈ ℝ3 als eine Linearkombination der vi dar.
zeige lin. unabhängig mit dem Ansatz
x1**v1+x2*v2+x3*v3 = 0-Vektor
dieses LGS hat nur die Lösung x1=x2=x3=0
also sind die V'en lin.unabh.
und weil es drei Stück sind,
ist es eine Basis.
und statt 0-Vektor den gegebenen Vektor rechts im Gleichungssystem
hinschreiben, gibt dann
x1=2 x2=-1 x3=-3, damit hast du die Darstellung
b) (b) In der Vorlesung wurde die zu (v1, v2, v3) duale Basis
(v1∗, v2∗, v3∗) von (ℝ3)∗ definiert. Stellen Sie die Linearform
φ : R3 → R, (x, y, z) → −2x − 3y + 4z, als Linearkombination der vi∗ dar.
die v* sind
v1*: (x, y, z) → x − 2y + 1z
v2*: (x, y, z) → 2y - 1z
v3*: (x, y, z) → -2x +5y -2z
und φ = -5v1* + 0v2* + 3v3* die -5 0 3 bekommst du einfach
durch die Matrix mit den 3 v's als Spalten mal (-2,-3,4)^T
