Duale Basis mit Linearkombination bestimmen

Question

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper. Bestimmen Sie die zur Basis
\( v_1= \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), v_2= \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),v_3 = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), v_4=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \)
von \( K^{4} \) duale Basis von \( \left(K^{4}\right)^{*} \), indem Sie deren Elemente als Linearkombinationen der kanonischen Projektionen \( p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}: K^{4} \rightarrow K \) angeben.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir jetzt diverse Formenbeiträge angeschaut, wo die duale Basis häufig irgendwie über die invertierbare Matrix von den Vektoren, aufgefasst als Spaltenvektoren eben dieser Matrix, berechnet wurden. In der Aufgabe geht es jetzt explizit darum, dass über die Linearkombination zu lösen, jetzt weiß ich nur nicht genau wie das gemeint ist.

Ich soll das ganze als Linearkombination der "kanonischen Projektion" angeben, wobei ich mir nichtmal so sicher bin was das sein soll. Naja wie dem auch sei, soll dass dann irgendwie so aussehen?:

\(v_1=e_1; v_2= e_1+e_2; v_3=e_1+e_2+e_3;v_4=e_1+e_2+e_3+e_4 \)

Wenn ich dann eine entsprechende Linearkombination gefunden habe, wüsste ich jetzt auch nicht so wirklich was ich damit anfangen soll. Was soll sie mir sagen? Z. B. bei der darstellenden Matrix habe ich ja Vorfaktoren, die ich dann nehmen kann. Was bringt es mir, wenn ich die Vektoren v1 bis v4 als Linkomb. schreibe?

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Andere Linearkombination:

\(e_1=v_1, \quad e_2=v_2-v_1, \quad e_3=v_3-v_2, \quad e_4=v_4-v_3 \)

Hab mir noch ein paar Bsp angeschaut, die meiste Literatur macht das aber nur mit dem R^2 und es ist mir auch nicht ganz klar, wie die nun auf die einzelen werte für \(v_1^*(e_1), v_1^*(e_2),...,v_4^*(e_1), v_4^*(e_2),... \) kommen und wie ich diese Werte zu einer Basis anordnen kann.

Answer 1

Hallo,

wenn ein Funktional \(f \in (K^4)^{\ast}\) eine Darstellung in der Basis \(p_1, \ldots,p_4\) hat,dann gilt für \(x=(x_1, \ldots,x_4)\):

$$f=\sum_{i=1}^ns_ip_i \Rightarrow f(x)=\sum_{i=1}^ns_ip_i(x)=\sum_{i=1}^ns_ix_i$$

Daraus folgt dann auch \(f(e_i)=s_i\)

Damit kann man jetzt aus Deiner Darstellung die Infos über die duale Basis \(f_1, \ldots,f_4\) ablesen:

$$f_1(e1)=f_1(v_1)=1\quad f_1(e_2)=f_1(v_2)-f_1(v_1)=0-1=-1 $$

$$ f_1(e_3)=f_1(v_3)-f_1(v_2)=0 \quad f_1(e_4)=0$$

Analog für die anderen f_i.

Gruß Mathhilf

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Danke, hat mir gut geholfen :D